极限与连续整章.pptx

1.2.1 数列的极限数列的极限一、数列极限的概念一、数列极限的概念二、数列极限的几何意义数列极限的性二、数列极限的几何意义数列极限的性质质三、小结三、小结正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积一、数列极限的概念例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.2.数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数n的函数的函数问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划“无限接近无限接近”？如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:其中其中数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证1、唯一性、唯一性定理定理1 1 如果数列收敛，则数列的极限只有一个如果数列收敛，则数列的极限只有一个.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.二、数列极限的性质二数列极限的性质2、有界性有界性定理定理2 2 如果数列收敛，则数列一定有界如果数列收敛，则数列一定有界.证证由定义由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.注意：有界数列也可能发散注意：有界数列也可能发散3.收敛数列的保号性4、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕证毕三、小结三、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.第二节 函数的极限函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、极限存在准则一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.1、定义：、定义：2、另两种情形、另两种情形:3、几何解释、几何解释:例例1证证 例 函数 ,由观察可知，当 趋 近于1（记为 1）时，函数 的值无限趋近 4，我们称4为 1时，的极限。记为二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限1、定义、定义：2、几何解释、几何解释:注意：注意：例例2证证例例3证证例例4证证函数在点函数在点x=-1处没有定义处没有定义.例如例如,当 从0的左侧趋向于0时，有当 从0的右侧趋向于0时，有1-xx2+13.单侧极限单侧极限:左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例5证证三、函数极限的性质三、函数极限的性质定理定理3 3 (函数极限的保号性函数极限的保号性)推论推论定理定理4(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)证证四、极限存在准则四、极限存在准则证证上面两个不等式同时成立上面两个不等式同时成立,即即上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。注意注意:准则准则 I和和准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1解解由夹逼准则得由夹逼准则得2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:例例2 2证证(舍去舍去)例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.一、无穷小一、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量.无穷小与无穷大无穷小与无穷大2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.定理定理4:有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量但是无界变量未必是无穷大未必是无穷大.三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.四、小结1、主要内容、主要内容:2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.极限运算法则、两个重要极限极限运算法则、两个重要极限一、极限运算法则一、极限运算法则二、例题二、例题三、两个重要极限三、两个重要极限定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得1 极限的四则运算极限的四则运算推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，意义：意义：2 2 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则二、例题二、例题例例1 1解解小结小结:解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)例例4 4解解(无穷小分出法无穷小分出法)小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6解解例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么什么？思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限有极限，有极限有极限，由极限运算法则可知由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误两个重要极限两个重要极限(1)例例1 1解解例例 例例 求求(2)类似地类似地,例例4 4解解例例5 5解解1.2.6 无穷小的比较无穷小的比较 例如例如,由上面结果可看出，同是无穷小由上面结果可看出，同是无穷小,但是趋但是趋向于零的向于零的“快慢快慢”程度却有不同程度却有不同.不可比不可比.定义定义:例如，例如，例例1 1解解例例2 2解解证证必要性必要性充分性充分性例例3 因为因为常用等价无穷小常用等价无穷小:例例4 4解解定理定理(等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证证例例5 5解解例例6 6解解解解错错不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意例例7 7解解注意：只有极限式中的乘积因子才可在求极限时注意：只有极限式中的乘积因子才可在求极限时作等价无穷小代换作等价无穷小代换小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢,但但并不是所有的无穷小都可进行比较并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时1.3 函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点及类型二、函数的间断点及类型三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性例例1 1证证由定义由定义2知知定理定理在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例例2 2证证例例3 3解解右连续但不左连续右连续但不左连续,二、函数的间断点及类型二、函数的间断点及类型可去间断点可去间断点例例4 4解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.在此例中在此例中,跳跃间断点跳跃间断点例例5 5解解跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例7 7解解1.3.2 连续函数的性质连续函数的性质定理定理1 1例如例如,1、四则运算的连续性、四则运算的连续性例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数与复合函数的连续性、反函数与复合函数的连续性定理定理3 3意义意义1.连续函数极限符号可与函数符号互换连续函数极限符号可与函数符号互换;例例1 1解解定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.3、初等函数的连续性、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意例例3 3例例4 4解解解解注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理二、零点存在定理与介值定理二、零点存在定理与介值定理一、有界性与最大值和最小值定理一、有界性与最大值和最小值定理定定理理1(1(有有界界性性与与最最大大值值最最小小值值定定理理)闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在该该区区间间上上有有界界且且一一定定能能取取得得它它的的最最大大值和最小值值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.定理定理2 2（介值定理）（介值定理）闭区间上的连续函数必取得闭区间上的连续函数必取得介于最大值介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.零点零点存在存在定理与介值定理定理与介值定理几何解释几何解释:例例1 1证证由零点定理由零点定理,例例2 2证证由零点定理由零点定理,