1、1一、极限存在的夹逼准则定理定理1.且（2）关于数列的夹逼准则：设数列 满足：（1）则 存在且等于2证明：证明：下面仅对 时的函数极限来证明夹逼准则。对 ，因为 ，故存在 ，当 时，有 ，从而又因为 ，故存在 ，当时，有 ，从而3取 ，则当 时，不等式 同时成立，并注意到就得到故这就证明了4圆扇形AOB的面积重要极限重要极限（一）（一）证证:当即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注注6说明：1)几个附带的有用结论：其中等号成立7 3)在保证 时,有 4)注意区别：8例例2.求解解:解解:例例1.求9解解:令则因此原式例例3.求例例4.求解解:令则因此原式10例例5.求例例6.求解解:原式
2、解解:原式 11证明:证证:说明说明:计算中注意利用例例7.已知圆内接正 n 边形面积为122.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)只给出几何解释：只给出几何解释：13例例7.设证明数列极限存在.证证:利用二项式公式,有14大大 大大 正正比较可知15根据准则 2 可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.又16故极限存在，例例8 8 设,且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则17重要极限（二）重要极限（二）证证:当时,设则18当则从而有故时,令191)该极限的特点:(2)括号中数1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.2
3、)极限呈但第二个特点不具备时,通常凑指数幂使(2)成立.则说明203)重要极限2的不同形式21例例1.求下列极限解解:令则说明说明：利用则 原式解解原式22例例2 求解法一：解法一：解法二：解法二：23解解:I=解解:原式=例例3.求下列极限24例例4 求解解:原式=例例5 求解解:原式=25例例6 已知，求常数 C。解解:原式=262.两个重要极限或注注:代表相同的表达式27 第一章 都是无穷小,第六节引例引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较28定义：定义：若则称 是比 高阶高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记
4、作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义29例如例如,当时又如又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 30例例1.证明:当时,证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 31例例2.当时,是的几阶无穷小?解解:设其为的阶无穷小,则因故机动 目录 上页 下页 返回 结束 32定理定理1.证证:即即例如例如,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.性质性质这时也称 为 的主要部分33定理定理2.设且存在,则证证:例如例如,机动 目录
5、 上页 下页 返回 结束 34说明说明1)等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替可由它们的等价无穷小之比的极限代替.,给给 型未定式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便.35机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解解:原式 例如，例如，2)称定理称定理2为为等价替换定理，定理，进行等价替换时,代换式中不能出现加减号,必须是整体因子的替换.363)牢记常见的等价无穷小.37例例3.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 38例例4.求极限解:39内容小结内容小结1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 返回 结束 402.等价无穷小替换定理思考与练习思考与练习Th 2P59 题1,2常用等价无穷小:
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