极限存在准则两个重要极限无穷小的比较.pptx

n内容提要内容提要 1.两个极限存在准则；两个极限存在准则；2.两个重要极限两个重要极限。n教学要求教学要求 1.了解两个极限存在准则（了解两个极限存在准则（夹逼准则夹逼准则和和单调有界单调有界准则准则）；）；2.熟练掌握用两个重要极限求极限熟练掌握用两个重要极限求极限。(1)(2)一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则注：注：上述数列极限存在的准则可以推广到函数上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限的极限注注:上述两个准则上述两个准则称为称为夹逼准则夹逼准则.，并且他们的极限是容易求出来的，并且他们的极限是容易求出来的利用夹逼准则求极限关键是构造出数列利用夹逼准则求极限关键是构造出数列和和例例1 求求解解由夹逼定理得由夹逼定理得又又2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:满足条件满足条件如果数列如果数列 xn二、两个重要极限二、两个重要极限 (x 取弧度单位取弧度单位)如图所示如图所示 ,作单位圆作单位圆则圆心角则圆心角AOB=x，显然有显然有AODAOBSSSDDAOB扇形扇形 即即xxxtansin 分别除以分别除以 xsin 1.对于对于情形情形,有有证证:x再取倒数再取倒数,得得1sincosxxx(1)由于用由于用x-代替代替x时时xcos和和xxsin都不变号都不变号不等不等 式式(1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式有不等式 1sincosxxx 成立。成立。3由于由于1coslim0=xx,且且11lim0=x ,由夹逼准则由夹逼准则可知可知,1sinlim0=xxx .证毕证毕从而当从而当时时 ,2.对于对于的情形的情形,所以当所以当时时 ,（偶函数），（偶函数），注意：注意：解解例例 1 求求 例例2 求求例例3 求求解解解解例例4 求求解解解解当当 n时时,因此因此例例5,有有例例6 解解练习练习解解解解 令令 .00tx则则解解解解 证明略证明略(用两个准则证明用两个准则证明)。例例1 解解解法一解法一 令令tx=-则当则当 x 时时 有有 t 所以所以例例 2 求求 解法二解法二解解 令令tx=1 当当0 x时时 有有 t 所以所以例例 3(3)互倒互倒注意：注意：解解解解解解练习练习小结小结二、两个重要极限二、两个重要极限重要极限一重要极限一:重要极限二重要极限二：(3)互倒互倒夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.一、两个准则一、两个准则作作 业业 P56习题习题1-6 1(1)(3)(5)2(1)(2)(3)第六节第六节 无穷小的比较无穷小的比较n内容提要内容提要无穷小量的比较。无穷小量的比较。n教学要求教学要求熟练掌握无穷小的熟练掌握无穷小的比较比较、等价无穷小量的、等价无穷小量的性质性质以及一些常见的以及一些常见的等价无穷小等价无穷小。由无穷小的性质可知由无穷小的性质可知 ,两个无穷小的和、差、积两个无穷小的和、差、积仍为无穷小仍为无穷小 ,但两个无穷小的商会出现不同的情况但两个无穷小的商会出现不同的情况 。如如:当当0 x时时 ,函数函数 x2 ,xsin都是无穷小。都是无穷小。但是但是0=21=(3)2sinxx由此可见由此可见 ,无穷小虽然都是以无穷小虽然都是以0 为为极限的变量极限的变量,但它们趋向但它们趋向0的速度不一样的速度不一样,趋向趋向0的的“快快”、“慢慢”程度程度,我们引我们引入无穷小的入无穷小的“阶阶”的概念。的概念。为了为了 反映无穷小反映无穷小定义定义.若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,若若若若若若若若或或设设a,ba,b 是自变量同一变化过程中的是自变量同一变化过程中的无穷小无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作 例如例如 03lim30=xxxQQ )0(x)3(3=xox1sinlim0=xxxQQ )0(xsinxx1-x与与12-x同阶无穷小同阶无穷小)1(x)0(x可以证明可以证明 :当当0 x时时 ,有下列等价无穷小：有下列等价无穷小：xxsinxxtanxex1-xx)1ln(+22xcos1x-利用等价无穷小可以简化某些极限利用等价无穷小可以简化某些极限的运算的运算,有下面定理：有下面定理：定理定理1.定理定理2 设当设当0 xx 时时,)()(xxa aa a ,)()(xxb bb b 且且)()(lim0 xxxxa ab b 存在存在 (或或),)()(lim0 xxxxa ab b =则则)()(lim0 xxxxa ab b证明证明 因因)()(lim0 xxxxa ab b)()(lim0 xxxxa ab b =(证毕证毕 )()(xxa aa a)()(xxa ab b )()(xxb bb b lim0 xx=)()(lim0 xxxxa aa a)()(lim0 xxxxa ab b )()(lim0 xxxxb bb b=23lim0=xxx例例1求求2tan3sinlim0 xxx,0时时当当x0=0lim30=xxlim30-=xxxx这种解法是错误的！这种解法是错误的！解解正确的解法如下正确的解法如下.正确的解法如下正确的解法如下.30sintanlim 2xxxx-求求 例例,0时时当当xQ.sin 不是无穷小不是无穷小 是无穷小，而是无穷小，而 时时，x xxp pQcos21lim0=xxcos2lim320.=xxxxxcos)cos1(sinlim30-=xxxxxsintanlim30-xxxx解解注意：注意：用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用无穷小量替换分子或分母，也可替换分子或无穷小量替换分子或分母，也可替换分子或分母的因式，而对分子或分母中分母的因式，而对分子或分母中“+”，而对分，而对分子或分母中子或分母中“+”，部分不能分别作替换。，部分不能分别作替换。30sintanlimxxxx-求求,0时时当当x小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.作作 业业 P59习题习题1-7 1，4(1)(3)