桥梁电算.pptx

陈忠辉陈忠辉陈忠辉陈忠辉福州大学福州大学福州大学福州大学 土木工程学院土木工程学院土木工程学院土木工程学院2009.22009.2交通土建工程软件分析交通土建工程软件分析2 2第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 本课程的概述本课程的概述n1.本课程在交通土建工程中的地位本课程在交通土建工程中的地位n2.学习本课程需预先掌握的知识学习本课程需预先掌握的知识n3.本课程为后续课程及毕业设计服务本课程为后续课程及毕业设计服务n3.本课程的组成本课程的组成 理论理论 实践实践(上机上机)4.学习本课程的注意点学习本课程的注意点3 3第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法4 4第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 5 5第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 6 6第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 7 7第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 n1.1 引引 言言n手算与电算方法之比较手算与电算方法之比较:n 手算：力求简化方法，近似处理手算：力求简化方法，近似处理n 电算：力求标准化，规一化电算：力求标准化，规一化8 8第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 土建结构计算机分析的程序设计一般概念土建结构计算机分析的程序设计一般概念q程序设计：将求解问题的公式与计算过程按程序设计：将求解问题的公式与计算过程按算法语句标准编写成机器可以运行的一个源算法语句标准编写成机器可以运行的一个源程序。程序。q程序设计的基础与关键问题，对分析方法，程序设计的基础与关键问题，对分析方法，计算方法的充分理解是：编制程序的算法设计算方法的充分理解是：编制程序的算法设计是程序设计的组成部分是关键。计是程序设计的组成部分是关键。9 9第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 1.引例引例:如下图，求解节点如下图，求解节点3位移位移杆长l1010第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引例引例 以整体坐标计，结构的节点以整体坐标计，结构的节点3受受到到 的节点力，发生的节点力，发生 的位移。的位移。杆长l1111第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引例引例(单元单元1)以局部坐标计，以以局部坐标计，以杆件为杆件为 轴，节点轴，节点1至至3方向为正，则节点方向为正，则节点3在在 方向的位移有：方向的位移有：杆件轴力为：杆件轴力为：右图中位移箭头方向为正，轴力拉为正右图中位移箭头方向为正，轴力拉为正杆长l90-1212第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引例（单元引例（单元1）以整体坐标计，以整体坐标计，杆件的受力为：杆件的受力为：单单元元 杆长l90-在整体坐标中为负在整体坐标中为负1313第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 在在 方向的位移有：方向的位移有：轴力：轴力：单单元元 引例（单元引例（单元2）杆长l 90-在整体坐标中为负在整体坐标中为负在整体坐标中为负在整体坐标中为负1414第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引例（综合）引例（综合）整理得：整理得：单单元元 单单元元 1515第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引例（综合）引例（综合）矩阵形式：矩阵形式：单单元元 单单元元 单元刚度方程单元刚度方程单元刚度矩阵单元刚度矩阵1616第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引例（整体分析）引例（整体分析）取节点取节点3力的平衡，得：力的平衡，得：即：即：将单元分析结果代入：将单元分析结果代入：杆长l1717第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引例（整体分析）引例（整体分析）即：即：则有：则有：1818第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 以整体坐标计，结以整体坐标计，结构的节点构的节点3受到受到 的节点力，发生的节点力，发生 的位移，求解的位移，求解 。引例（作业）引例（作业）杆长杆长l1919第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 1.2 单单 元元 分分 析析 一、一、单元刚度矩阵单元刚度矩阵:n单元刚度矩阵即用杆端位移表示杆端单元刚度矩阵即用杆端位移表示杆端力的力的系数矩阵系数矩阵。n以下根据以下根据结构力学的转角位移方程结构力学的转角位移方程与与材料力学的材料力学的轴力计算公式轴力计算公式来推导平面来推导平面杆单元在局部坐标下的刚度矩阵：杆单元在局部坐标下的刚度矩阵：2020第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 结构力学公式结构力学公式1:2121第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 结构力学公式结构力学公式2:2222第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 结构力学公式结构力学公式3:2323第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 矩阵表示矩阵表示写成矩阵形式（按分量顺序排列）写成矩阵形式（按分量顺序排列）：2424第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 用矩阵表达式写成用矩阵表达式写成：其中矩阵其中矩阵KE66 KE66 就是单元就是单元 在局部坐在局部坐标系里的单元刚度矩阵。标系里的单元刚度矩阵。求解求解KEKE的的DYKDYK子程序见书上子程序见书上P21:P21:“SUBROUTINE DYKSUBROUTINE DYK（k k）“2525第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 二、局部坐标和整体坐标二、局部坐标和整体坐标n1局部坐标：如右图杆局部坐标：如右图杆e（任意杆，左端点号（任意杆，左端点号i，右端点号，右端点号j），取杆左），取杆左端点为原点，杆轴线为端点为原点，杆轴线为轴，从轴正方向逆时针轴，从轴正方向逆时针旋转旋转90得轴。得轴。n2整体坐标：平面内取整体坐标：平面内取一计算较方便的点作为一计算较方便的点作为参考原点，一般以水平参考原点，一般以水平线为线为X轴，竖直线为轴，竖直线为Y轴。轴。2626第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 三、单元杆端力与杆端位移三、单元杆端力与杆端位移n任意杆件的杆端力与杆端位移分量表示如局部坐任意杆件的杆端力与杆端位移分量表示如局部坐标系图与总体坐标系图。标系图与总体坐标系图。局部坐标系局部坐标系总体坐标系总体坐标系2727第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 n1 1元素顺序：元素顺序：杆端位移分量顺序：左、右端杆杆端位移分量顺序：左、右端杆件位移分别按方向位移，方向位移与转件位移分别按方向位移，方向位移与转动角（局部坐标）或动角（局部坐标）或X X方向位移方向位移u u，Y Y方向位移方向位移v v与转动角（总体坐标）进行与转动角（总体坐标）进行排列。排列。杆端力分量顺序：与杆端位移分杆端力分量顺序：与杆端位移分量排列顺序对应，左、右端杆端力分别量排列顺序对应，左、右端杆端力分别按方向分力，按方向分力，方向分力与转动力矩局方向分力与转动力矩局部坐标）或部坐标）或X X方向分力方向分力F FX X，Y Y方向分力方向分力F FY Y与转动力矩与转动力矩MM（总体坐标）进行排列。（总体坐标）进行排列。局部坐标系局部坐标系总体坐标系总体坐标系2828第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 局部坐标下的分量列阵表达式：局部坐标下的分量列阵表达式：局部坐标下的分量列阵表达式：局部坐标下的分量列阵表达式：n杆端力杆端力；杆端位移杆端位移 2929第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 总体坐标下的分量列阵表达式：总体坐标下的分量列阵表达式：n杆端力杆端力；杆端位移杆端位移 3030第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 四、单元杆端力与杆端位移的坐标转换四、单元杆端力与杆端位移的坐标转换n如图坐标系（局部如图坐标系（局部 ，总体，总体xoy），杆），杆e 与与X轴轴夹角为夹角为，根据力的分解与合成，有：，根据力的分解与合成，有：不同坐标系中的力与位移转换图不同坐标系中的力与位移转换图3131第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 不同坐标系中的力与位移转换图不同坐标系中的力与位移转换图3232第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：可表达为：可表达为：3333第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 其中矩阵其中矩阵 T66T66就称为杆单元的几何转换矩阵就称为杆单元的几何转换矩阵 求解求解TT的的CHCH子程序见书上子程序见书上P20:P20:“SUBROUTINE CHSUBROUTINE CH（k k）“3434第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 注意到：注意到：T =TT =T ，即逆矩阵等于转置矩阵，即逆矩阵等于转置矩阵（任意（任意都成立），说明几何转换矩阵为正交矩阵。都成立），说明几何转换矩阵为正交矩阵。那么（那么（1-31-3）式等式两边同时乘矩阵）式等式两边同时乘矩阵TT （即（即TT ）可得：）可得：-1T-1T 上式（上式（2-42-4）即为杆端力在局部坐标与总体坐标）即为杆端力在局部坐标与总体坐标下的转换关系，转换矩阵为下的转换关系，转换矩阵为TT与与TT 。T3535第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 同理，可以推出杆端位移在总体坐标与局部坐标下同理，可以推出杆端位移在总体坐标与局部坐标下的转换关系，其表达式为：的转换关系，其表达式为：3636第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 例题例题 例例1-1 1-1 有杆件有杆件=90=90（垂直），（垂直），cos=0,sin=1cos=0,sin=1，则该杆的几何转换矩阵为：则该杆的几何转换矩阵为：3737第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 根据，该杆局部坐标下杆端位移分量与总体坐标下杆根据，该杆局部坐标下杆端位移分量与总体坐标下杆端位移分量的关系为：端位移分量的关系为：3838第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 五、整体坐标单元刚度矩阵五、整体坐标单元刚度矩阵 由前：由前：（1-31-3）、（）、（1-51-5代入（）代入（1-21-2）得：）得：两边同乘以两边同乘以T T 即即T T 则得则得:-1T3939第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 令令:上式上式即为即为表达总体坐标下杆端力与杆端位移的关系。表达总体坐标下杆端力与杆端位移的关系。得得:单元单元e e在总体坐标中在总体坐标中的单元刚度矩阵的单元刚度矩阵4040第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 按照工程结构计算机分析的一般步骤是先分按照工程结构计算机分析的一般步骤是先分后合，在把结构分离为独立的单元，求得单元刚后合，在把结构分离为独立的单元，求得单元刚度矩阵之后，又要按照单元在原有结构中的位置度矩阵之后，又要按照单元在原有结构中的位置合成整体，分析整体结构的变形与外力之间的关合成整体，分析整体结构的变形与外力之间的关系，得到系，得到整体结构的刚度矩阵整体结构的刚度矩阵。既然整体结构是由若干个单元拼合组成，那既然整体结构是由若干个单元拼合组成，那么整体结构的刚度矩阵也可以用单元刚度矩阵来么整体结构的刚度矩阵也可以用单元刚度矩阵来集成，以下给予详细说明。集成，以下给予详细说明。1.3总总 体体 刚刚 度度 矩矩 阵阵 的的 集集 成成4141第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 一、单元刚度矩阵的扩大矩阵（全元素）一、单元刚度矩阵的扩大矩阵（全元素）1 1）例子分析）例子分析 用一个简单的例子加以说明离散用一个简单的例子加以说明离散分析得到了单元刚度矩阵后，总刚矩分析得到了单元刚度矩阵后，总刚矩阵的合成（集成）过程。阵的合成（集成）过程。如右图所，该框架结构可离散为如右图所，该框架结构可离散为单元单元、，单元数，单元数NE=2NE=2，节点总数，节点总数NJ=3NJ=3。4242第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 该体系的整体结构位移分量为该体系的整体结构位移分量为：可用分块形式写成：可用分块形式写成：4343第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 其中表示第其中表示第i i节点的三个位移分量（总体坐标下），即：节点的三个位移分量（总体坐标下），即：通过单元分析，得到第通过单元分析，得到第1 1单元总体坐标下的单元刚度单元总体坐标下的单元刚度矩阵各元素为矩阵各元素为K1ijK1ij（i,j=1,2i,j=1,26 6）。单元杆端力与位移）。单元杆端力与位移的关系为（总体坐标下）：的关系为（总体坐标下）：4444第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 用分块形式表示如下：用分块形式表示如下：4545第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 用分块形式表示如下：用分块形式表示如下：刚度矩阵子块为刚度矩阵子块为3 3行行3 3列的子块。列的子块。4646第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 把位移分量扩大把位移分量扩大到包括整体结构到包括整体结构的全部分量，上的全部分量，上式成为：式成为：同样理由，第二同样理由，第二单元分析所得到单元分析所得到杆端位移与杆端杆端位移与杆端力的关系式，扩力的关系式，扩大后得到：大后得到：4747第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 把以上二式相加得到：把以上二式相加得到：根据内力与外力的平衡，得：根据内力与外力的平衡，得：4848第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 根据内力与外力的平衡，得：根据内力与外力的平衡，得：于是，有：于是，有：4949第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 例子刚度矩阵例子刚度矩阵 这就是整体结构的位移与荷载的关系。写成这就是整体结构的位移与荷载的关系。写成矩阵矩阵ZKZK就是整体结构的刚度矩阵。就是整体结构的刚度矩阵。5050第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 练习练习 练习：试根据实际单元号写出其总体坐标下单刚的练习：试根据实际单元号写出其总体坐标下单刚的扩大刚度矩阵形式，各元素在扩大总刚中的位置。扩大刚度矩阵形式，各元素在扩大总刚中的位置。例单元例单元左点左点7 7，右点，右点4 4（总节点数（总节点数NJ=9NJ=9）5151第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 二、集成总刚的一般概念二、集成总刚的一般概念 整体坐标下单元刚度矩阵整体坐标下单元刚度矩阵KeKe反映总体坐标下单元杆端位移反映总体坐标下单元杆端位移与杆端力的关系：与杆端力的关系：将这种式子扩充（单元刚度矩阵的扩大矩阵也称为将这种式子扩充（单元刚度矩阵的扩大矩阵也称为“贡献矩阵贡献矩阵”），使位移分量反映整体结构的位移，即：），使位移分量反映整体结构的位移，即：将所有单元的这类式子相加得：将所有单元的这类式子相加得：5252第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 注意到下面两个条件：注意到下面两个条件：1 1）.上式左边为公因式；上式左边为公因式；2 2）.根据平衡原理，节点汇交杆端力的总和与外力平衡即根据平衡原理，节点汇交杆端力的总和与外力平衡即 ，称其中的，称其中的PP为荷载列阵。为荷载列阵。于是上式成为：于是上式成为：令令 ,得得:5353第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 其中，其中，ZKZK称为整体结构的刚度矩阵，它反映整体结构的变称为整体结构的刚度矩阵，它反映整体结构的变形与外荷载形与外荷载PP之间的关系。之间的关系。5454第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 三、全元素存放集成总刚的程序片断三、全元素存放集成总刚的程序片断 对于任意单元对于任意单元e e来说来说,设左端点为设左端点为i i，则始前值则始前值I0=3(i-1)I0=3(i-1)，右端点为右端点为j j，则始前值，则始前值J0=3(j-1)J0=3(j-1)，扩大的单元刚度矩阵，扩大的单元刚度矩阵，反映了增加一些零方程组后单元杆端节点位移与单元杆端节反映了增加一些零方程组后单元杆端节点位移与单元杆端节点力之间的关系。用分块形式表达如下：点力之间的关系。用分块形式表达如下：列块列块 第一列块：第一列块：行块行块 第一行块第一行块5555第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 于是在集成总刚于是在集成总刚（）时，单元时，单元e e（左端（左端I=NL(e)I=NL(e)，右端，右端J=NR(e)J=NR(e)，始前值，始前值分别为分别为I0I0，J0J0）的四个刚度子块的四个刚度子块分别在总刚矩阵分别在总刚矩阵中的位置如右表：中的位置如右表：子块子块 对应扩大刚度矩阵位置对应扩大刚度矩阵位置 分别对应单元分别对应单元刚度元素刚度元素 第第+行行 第第J+J+列列 第第13行行第第13列列 第第+行行 第第J+J+列列 第第13行行 第第46列列 第第+行行 第第J+J+列列 第第46行行 第第13列列 第第+行行 第第J+J+列列 第第46行行 第第46列列 5656第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 程序片断程序片断 那么，将那么，将单元单元e e的扩的扩大刚度矩大刚度矩阵集入总阵集入总刚的程序刚的程序片断可以片断可以写成：写成：DO 115 I=1,3DO 115 I=1,3DO 115 J=1,3DO 115 J=1,3AK(I0+I,I0+J)=AK(I0I,I0+J)+KE(I,J)AK(I0+I,I0+J)=AK(I0+I,I0+J)+KE(I,J)AK(I0+I,J0+J)=AK(I0+I,J0+J)+KE(I,J+3)AK(I0+I,J0+J)=AK(I0+I,J0+J)+KE(I,J+3)AK(J0+I,I0+J)=AK(J0+I,I0+J)+KE(I+3,J)AK(J0+I,I0+J)=AK(J0+I,I0+J)+KE(I+3,J)AK(J0+I,J0+J)=AK(J0+I,J0+J)+KE(I+3,J+3)AK(J0+I,J0+J)=AK(J0+I,J0+J)+KE(I+3,J+3)CONTINUECONTINUE115115循环次数内次，外循环次数内次，外3 3次，共次，共9 9次，每次循环集入次，每次循环集入4 4个元素，最终个元素，最终将单元刚度将单元刚度49=3649=36个元素（个元素（4 4个子块，每块个子块，每块9 9个元素）集入总刚。个元素）集入总刚。5757第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 引入支撑条件：引入支撑条件：划去与位移为零对应的行和列划去与位移为零对应的行和列“主主1，副，副0”法法5858第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 单元荷载的转化单元荷载的转化5959第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 6060第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 6161第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 四、简单平面杆系分析主程序四、简单平面杆系分析主程序 1 1、总框图、总框图输入基本数据输入基本数据各单元分析各单元分析建立总刚矩阵建立总刚矩阵形成荷载列阵形成荷载列阵求各杆单元内力求各杆单元内力解方程求结点位移解方程求结点位移输出内力与位移输出内力与位移结结 束束边界条件处理边界条件处理6262第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 单元刚度矩阵的性质和特点单元刚度矩阵的性质和特点a.对称矩阵对称矩阵b.奇异矩阵奇异矩阵c.单元刚度矩阵的主对角元素都大于零单元刚度矩阵的主对角元素都大于零d.单元刚度矩阵与单元的材料，长度和截单元刚度矩阵与单元的材料，长度和截面面6363第一章第一章 平面杆系有限元法平面杆系有限元法 整体刚度矩阵的性质和特点整体刚度矩阵的性质和特点a.对称性对称性b.奇异性奇异性c.矩阵中存在大量的零子块矩阵中存在大量的零子块