梁横截面上的应力.pptx

观察观察梁受力时的梁受力时的表面变形表面变形特点特点 提出合理假设提出合理假设(平面假设平面假设)几何关系几何关系(变形协调关系变形协调关系)：推断梁内部变形：推断梁内部变形 由由物理关系物理关系：推断应力：推断应力（截开）由静力平衡条件推导公式（截开）由静力平衡条件推导公式静力关系静力关系CL8TU3梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。面绕某一轴旋转了一个角度。考察等截面直梁。加载前在梁表面上画考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线上与轴线垂直的横线（m-m和和n-n）和与轴线和与轴线平行的纵线平行的纵线（a-a和和b-b）如图。如图。变形前变形前:abbammnnl变形后变形后 mnMMabbamn变形前变形前 abbammnn可以发现梁表面变形具有如下特征：可以发现梁表面变形具有如下特征：（1）横横线线（m-m和和n-n）仍仍是是横横直直线线，只只是是发发生生相相对对转转动动，仍仍与与纵纵线线（如（如a-a，b-b）正交。）正交。（2）纵纵线线（a-a和和b-b）弯弯曲曲成成曲曲线线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。且梁的一侧伸长，另一侧缩短。根根据据上上述述梁梁表表面面变变形形的的特特征征，可可以以作作出出以以下下假假设设：梁梁变变形形后后，其其横横截截面面仍仍保保持持平平面面，并并垂垂直直于于变变形形后后梁梁的的轴轴线线，只只是是绕绕着着梁梁上上某某一一轴轴转转过过一一个个角角度度。与与扭扭转转时时相相同同，这这一一假假设设也也称称平面假设平面假设。此此外外还还假假设设：梁梁的的各各纵纵向向纤纤维维（上上层层的的）互互不不挤挤压压，（下下层层的的）互互不不牵牵拉拉，即即梁梁的的纵纵截截面面上上无无正正应应力力作作用。用。根据上述假设，梁弯曲后，其根据上述假设，梁弯曲后，其纵纵向层一部分向层一部分产生伸长变形，产生伸长变形，另一部分另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层中性层。如图所示，中性层与横截面。如图所示，中性层与横截面的交线为截面的的交线为截面的中性轴中性轴。因此横截面。因此横截面绕着绕着中性轴中性轴转过一个角度。转过一个角度。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴 得到纯弯情况下的正应力计算公式得到纯弯情况下的正应力计算公式 (7.4)上上式式中中正正应应力力的的正正负负号号与与弯弯矩矩及及点点坐坐标标y的的正正负负号号有有关关。实实际际计计算算中中，一一般般根根据据截截面面上上弯弯矩矩的的方方向向，直直接接判判断断中中性性轴轴的的哪哪一一侧侧产产生生拉拉应应力力，哪哪一一侧侧产产生生压压应应力力，而而不不必必计计及及M和和y的正负。的正负。zy Wz 称为称为弯曲截面系数弯曲截面系数（或抗弯截面模量）（或抗弯截面模量），其量纲为，其量纲为长度长度3。国际单位用。国际单位用m3或或mm3。对于宽度为对于宽度为b、高度为、高度为h的矩形截面，抗的矩形截面，抗弯截面系数为弯截面系数为 直径为直径为d的圆截面，抗弯截面系数为的圆截面，抗弯截面系数为 内内径径为为d、外外径径为为D的的空空心心圆圆截截面面，抗弯截面系数为抗弯截面系数为 轧轧制制型型钢钢（工工字字钢钢、槽槽钢钢等等）的的Iz、W值可从型钢表中查得。值可从型钢表中查得。横力弯曲作用为：横力弯曲作用为：zyoyz 例例1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？CL8TU7解：解：例例2：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？梁的承载能力将是原来的多少倍？解：解：由公式由公式可以看出，可以看出，该梁的承载能力将是原来的该梁的承载能力将是原来的 2 倍。倍。二、梁的正应力强度条件（课本第三节）二、梁的正应力强度条件（课本第三节）设设max是发生在梁最大处的是发生在梁最大处的工作应力工作应力，则，则:上式即为梁弯曲时的上式即为梁弯曲时的正正应力应力强度条件。强度条件。最大工作最大工作应力应力材料的材料的许用应力许用应力 对于等截面直梁，若材料的对于等截面直梁，若材料的拉、压强拉、压强度相等度相等(塑性材料塑性材料)，则最大弯矩的所在面，则最大弯矩的所在面称为称为危险面危险面，危险面上距中性轴最远的点，危险面上距中性轴最远的点称为称为危险点危险点。此时强度条件可表达为。此时强度条件可表达为:对于由对于由脆性材料脆性材料制成的梁，由于其抗拉强制成的梁，由于其抗拉强度度 t 和抗压强度和抗压强度 c 相差甚大，所以要对最相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。强度条件可以解决以下三方面的问题：强度条件可以解决以下三方面的问题：1）梁的校核强度）梁的校核强度2）设计梁的（）设计梁的（最小最小）截面尺寸）截面尺寸3）确定梁的（）确定梁的（最大最大）许用外载荷）许用外载荷 F （难点难点）。）。解题的基本过程：解题的基本过程：1，分析题意是等直梁，还是变截面梁，是塑，分析题意是等直梁，还是变截面梁，是塑性材料性材料,还是脆性材料。还是脆性材料。2，是三类问题中的那一类问题。，是三类问题中的那一类问题。3，先求梁或结构的反力，先求梁或结构的反力4，求作每一梁的，求作每一梁的内力图内力图（这里是弯矩图）（这里是弯矩图）（确定危险截面确定危险截面）5，写出公式，再求解。，写出公式，再求解。6，正确回答问题。，正确回答问题。（如：强度够、强度不够（如：强度够、强度不够）例例3：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。CL8TU10解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全例例4:已知楼板主梁由工字钢制成，尺寸如已知楼板主梁由工字钢制成，尺寸如图，图，=152MPa。试选择工字钢的号码。试选择工字钢的号码。ABFF=75kNCDE10mF2.5m2.5m2.5m解：解：解得：解得：FA=FB=753/2=112.5kNABFF=75kNCDE10mFFBFA2.5m2.5m2.5mM A右右=0;M C右右=M C左左=112.52.5=281.25kN M D左左=112.55752.5=375kN 利用对称性：利用对称性：ABFF=75kNCDE10mFFAFB2.5m2.5m2.5mM+375kNm查表查表 56b Wz=2446.69cm3 56c Wz=2551.41cm3所以选所以选56c。注：注：选选56b,max=153MPa（max-）/=0.65 b时）与时）与精确解相比有足够的精度精确解相比有足够的精度。yzymdxbmomnnmhFQ x IZ :整个截面对中性轴整个截面对中性轴z轴的惯性矩；轴的惯性矩；b :横截面在所求应力点处的宽度；横截面在所求应力点处的宽度；SZ*:横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为 y 的横线以外部的横线以外部分的面积分的面积 A*对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。一、矩形截面梁的剪应力一、矩形截面梁的剪应力yz max max切切应力应力沿横截面高度沿横截面高度分布示意图分布示意图FQ SZ*=A*y1 dA y=h/2,=0 y=0,max=3FQ/2A (熟记熟记)二、圆截面梁的剪应力二、圆截面梁的剪应力CL8TU18下面求最大剪应力：下面求最大剪应力：计算结果表明，在翼缘上切应力很小。计算结果表明，在翼缘上切应力很小。z max maxFQ三三、工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力对于标准工字钢梁：对于标准工字钢梁：等截面等截面(矩形、工字形、圆形、矩形、工字形、圆形、薄壁圆环薄壁圆环)直梁的直梁的max发生在截面的发生在截面的中性轴中性轴上，此处弯曲上，此处弯曲=0正应力，微正应力，微元体处于元体处于纯剪应力状态纯剪应力状态。纯剪应力状态强度条件为纯剪应力状态强度条件为:max 设设 max是是发发生生在在梁梁最最大大剪剪力力处处的的工工作作应应力力,则则:上式即为梁弯曲时的上式即为梁弯曲时的切切应力应力强度条件。强度条件。最大工最大工作应力作应力材料的材料的许用应力许用应力 强度条件可以解决以下三个问题（或强度条件可以解决以下三个问题（或三方面应用）：三方面应用）：1）强度校核）强度校核2）设计）设计(最小最小)截面尺寸截面尺寸(合理性合理性)3）确定）确定(最大最大)允许外载荷允许外载荷 F 解题的基本过程：解题的基本过程：1，分析题意是等直梁，还是变截面梁。，分析题意是等直梁，还是变截面梁。2，是三类问题中的那一类问题。，是三类问题中的那一类问题。3，一般先求梁或结构的反力，一般先求梁或结构的反力4，求作每一梁的，求作每一梁的内力图内力图（这里是剪力图）（这里是剪力图）（确定危险截面确定危险截面）5，写出公式，再求解（，写出公式，再求解（确定危险点确定危险点）。）。6，正确回答问题。（如：强度够、强度不够），正确回答问题。（如：强度够、强度不够）2 工程上应用工程上应用：max max 1）强度校核）强度校核max max 2）设计（）设计（最小最小）截面尺寸）截面尺寸3）确定（）确定（最大最大）允许外载荷）允许外载荷F 例例9：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力许用应力=160MPa，=100MPa，试，试求最小直径求最小直径dmin。CL8TU19解：解：由正应力强度条件：由正应力强度条件：由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：7.3.3提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施主主要要是是从从三三方方面面考考虑虑：减减小小最最大大弯弯矩矩、提提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。1减小最大弯矩减小最大弯矩 改变加载的位置或加载方式改变加载的位置或加载方式AlBFCM+M=Fl/4AlBFCM+M=5Fl/36l/6ABFCM+M=Fl/8l/2Dl/4l/4辅梁辅梁ABql+Mql2/8 改变支座类型或位置改变支座类型或位置ABq0.2l+Mql2/50-l0.2lql2/40ql2/50 2提高抗弯截面系数提高抗弯截面系数 选选用用合合理理的的截截面面形形状状：截截面面积积相相同同的的条条件件下下，抗抗弯弯截截面面系系数数愈愈大大，则则梁梁的的承承载载能力就愈高。能力就愈高。zbhz 当截面的形状不同时，可以用比值当截面的形状不同时，可以用比值WZ/A来衡量截面形状的合理性和经济性。来衡量截面形状的合理性和经济性。常见截面的值：常见截面的值：0.167h0.125h(0.27-0.31)h(0.29-0.31)hh用变截面梁用变截面梁阶梯梁阶梯梁AlBFCMM=Fl/4+加强梁加强梁AlBFCMM=Fl/4+鱼腹梁鱼腹梁AlBFM+M=Fl/4 3提高材料的力学性能提高材料的力学性能 选选用用力力学学性性能能更更好好的的材材料料，如如低低合合金钢等。金钢等。