连续型概率分布.pptx

3.2 连续型概率分布连续型概率分布3.2.1 概率密度函数概率密度函数3.2.2 正态分布正态分布3.2.3 其他连续型概率分布其他连续型概率分布常用连续型概率分布连续型随机变量的概率分布1.连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率5.用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述概率密度函数(probability density function)1.设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件2.f(x)不是概率概率密度函数v 密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)值值(值值,频数频数)频数频数f f(x x)a ab bx x概率密度函数v 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积f(x)xab概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积分布函数(distribution function)1.连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x)来表示2.分布函数定义为3.根据分布函数，P(aXb)可以写为分布函数与密度函数的图示1.密度函数曲线下的面积等于12.分布函数是曲线下小于 x0 的面积f(x)xx0F F(x x0 0 )连续型随机变量的期望和方差1.连续型随机变量的数学期望2.方差正态分布(normal distribution)1.由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出2.描述连续型随机变量的最重要的分布3.许多现象都可以由正态分布来描述 4.可用于近似离散型随机变量的分布例如：二项分布5.经典统计推断的基础x xf f(x x)概率密度函数1.f(x)=随机变量 X 的频数 2.=正态随机变量X的均值3.=正态随机变量X的方差 4.=3.1415926;e=2.718285.x=随机变量的取值(-x )正态分布的概率概率是曲线下的概率是曲线下的面积面积面积面积!a ab bx xf f(x x)正态分布函数的性质1.图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x=处2.均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”3.均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭4.当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交5.正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1 和 对正态曲线的影响xf(x)CAB =1/2=1/2 1 1 1 1 2 2 2 2 =1 =1 课堂练习标准正态分布(standardize the normal distribution)1.随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布2.任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布3.标准正态分布标准正态分布的概率密度函数的概率密度函数4.标准正态分布标准正态分布的分布函数的分布函数标准正态分布X X 一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布 1 1Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 标准正态分布上的标准正态分布上的分位点分位点v设随机变量XN(0,1)，其概率密度函数为f(x)。对于给定的数：01，称满足条件：P(XZ)=的数Z为标准正态分布上的分位点，其几何意义如图所示：v对于给定的，Z的值这样求得：由vP(XZ)=标准正态分布表的使用1.对于标准正态分布，即ZN(0,1)，有P(a Zb)b aP(|Z|a)2 a 12.对于负的 z，可由F(-z)Fz得到3.对于一般正态分布，即XN(,)，有标准化的例子 P(5 X 6.2)X 55 11一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布6.2 1111Z Z标准正态分标准正态分标准正态分标准正态分标准正态分标准正态分布布布布布布 0.120.12.0478.0478.0478标准化的例子P(2.9 X 7.1)5 =102.97.1X一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布0 0 =1=1-.21-.21Z Z.21.21.1664.1664.1664.0832.0832.0832.0832.0832.0832课堂练习v已知随机变量XN（0，1），试求概率 P（0.5x1.5）=?正态分布(例题分析)【例例例例】定定某某公公司司职职员员每每周周的的加加班班津津贴贴服服从从均均值值为为5050元元、标标准准差差为为1010元元的的正正态态分分布布，那那么么全全公公司司中中有有多多少少比比例例的的职职员员每每周周的的加加班班津津贴贴会会超超过过7070元元，又又有有多多少少比比例例的的职职员员每每周周的的加加班班津津贴在贴在4040元到元到6060元之间呢？元之间呢？解：解：解：解：设设=5=50 0，=10=10，X XN N(50,10(50,102 2)作业v1、已知某种水果的单个重量服从正态分布，平均值为140g，标准差为12.2g，今随机抽出一个，试问其重量不小于130g的概率是多少？v2、某地区成年男子身高服从正态分布，其均值是169cm，标准差为7cm。求满足满足以下条件的男子的比例：、155cm以下；、176cm以上；155cm176cm之间 v3、某电视机厂某种型号电视机的销售价为2000元，成本为1200元。产品中有一部分可能会在保持期内损坏，因此厂家得免费维修，假设修理费平均而言每台500元。现假设电视机的使用寿命呈正态分布，均值为7年，标准差为3年。问：如果希望每台电视机的平均利润达到750元，厂家应承诺的保修期大概是几年？1.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson)分别于1875年和1900年推导出来2.设 ，则3.令 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即 4.当总体 ，从中抽取容量为n的样本，则2分布(2 distribution)1.分布的变量值始终为正 2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 3.期望为：E(2)=v，方差为：D(2)=2v(v为自由度)4.可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U2(v1)，V2(v2),则U+V这一随机变量服从自由度为v1+v2的2分布 2分布(性质和特点)v5、设XN（u，），x1，x2，xn是X的一个样本，与 分别为样本v的均值和方差，则有：c2分布(图示)不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布 c c c c c c 2 2 2 22 2n n=1=1n n=4=4n n=10=10n n=20=20 分位点若对于给定的 ，0 1，存在使得则称点 为 分布的上 分位点，如图所示。课堂练习vv=15,=0.050vv=20,=0.050 vv=30,=0.100vv=25,=0.010vv=20,=0.950vv=26,=0.900vv=30,=0.9901.由统计学家费希尔(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名2.设若U为服从自由度为v1的2分布，即U2(v1)，V为服从自由度为v2的2分布，即V2(v2),且U和V相互独立，则3.称F为服从自由度v1和v2的F分布，记为F分布(F distribution)v假设总体X-N()，总体Y-N()，X，Y相互独立，x1,x2,xn和y1,y2,yn分别是来自X和Y的样本。分别是它们的方差，则：F分布(图示)不同自由度的F分布F F F（1,10)1,10)(5,10)(5,10)(10,10)(10,10)分位点对于给定的，0 1，称满足为F分布的分位点。课堂练习vF0.10(15,12)vF0.05(20,12)vF0.01(15,12)vF0.95(15,12)vF0.90(20,12)vF0.99(15,12)t 分布 t t 分分布布是是类类似似正正态态分分布布的的一一种种对对称称分分布布，它它通通常常要要比比正正态态分分布布平平坦坦和和分分散散。一一个个特特定定的的分分布布依依赖赖于于称称之之为为自自由由度度的的参参数数。随随着着自自由由度度的的增增大大，分分布布也也逐逐渐渐趋于正态分布趋于正态分布 x x xt t 分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较t t 分布分布标准正态分布标准正态分布t t不同自由度的不同自由度的t t分布分布标准正态分布标准正态分布t t(dfdf=13)=13)t t(dfdf=5)=5)z z1、当XN（u，2），x1，x2，xn是X的一个样本，当方差未知时，我们用样本方差代替，则：为服从自由度为n的t分布，记Tt(n1)。t分布又称学生氏（student）分布。2、性质关于y轴呈对称分布；当 时，近似于N（0，1）分布。分位点对于给定的，0 1，称满足的点 为t分布的分位点。课堂练习vt0.10(15)vt0.05(18)vt0.01(16)vt0.90(17)vt0.95(15)vt0.99(16)本章小结1.随机变量随机变量2.离散型概率分布离散型概率分布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布3.连续型概率分布连续型概率分布正态分布正态分布卡方分布卡方分布 F分布分布 t分布分布参考书籍v商务与经济统计技术 Douglas A.Lind 中国人民大学出版社 2005年