第5章概率与概率分布.pptx

5-1统计学统计学(第三版第三版)5.4.4 正态分布正态分布 正态分布正态分布n在在北北京京市市场场上上的的精精制制盐盐很很多多是是一一公公斤斤袋袋装装，上上面面标标有有“净净含含量量1kg”的的字字样样。但但当当你你用用稍稍微微精精确确一一些些的的天天平平称称那那些些袋袋装装盐盐的的重重量量时时，会会发发现现有有些些可可能能会会重重些些，有有些些可可能能会会轻轻些些；但但都都是是在在1kg左左右右。多多数数离离1kg不不远远，离离1kg越越近近就就越越可可能能出出现现，离离1kg越越远远就就越越不可能。不可能。n一一般般认认为为这这种种重重量量分分布布近近似似地地服服从从最最常常用用的的正正态态分分布布(normal distribution，又又叫叫高高斯分布，斯分布，Gaussian distribution)。正态分布正态分布n近近似似地地服服从从正正态态分分布布的的变变量量很很常常见见，象象测测量量误误差差、商商品品的的重重量量或或尺尺寸寸、某某年年龄龄人人群群的的身身高高和和体体重重等等。等等。n在在一一定定条条件件下下，许许多多不不是是正正态态分分布布的的样样本本均均值值在在样样本本量量很很大大时时，也可用正态分布来近似。也可用正态分布来近似。5-4统计学统计学(第三版第三版)正态分布正态分布(normal distribution)1.1.描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布2.2.可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布n n例如例如例如例如:二项分布二项分布二项分布二项分布3.3.经典统计推断的基础经典统计推断的基础经典统计推断的基础经典统计推断的基础x xf f(x x)正态分布正态分布n正正态态分分布布的的密密度度曲曲线线是是一一个个对对称称的的钟钟型型曲曲线线（最最高高点点在在均均值值处处）。正正态态分分布布也也是是一一族族分分布布，各各种种正正态态分分布布根根据据它们的均值和标准差不同而有区别。它们的均值和标准差不同而有区别。n一一个个正正态态分分布布用用N(m m,)表表示示；其其中中m m为为 均均 值值，而而 为为 标标 准准 差差。也也 常常 用用N(m m,)来来表表示示，这这里里 为为方方差差（标标准准差的平方）。差的平方）。正态分布正态分布n标标准准差差为为1的的正正态态分分布布N(0,1)称称为为标标准准正正态态分布分布(standard normal distribution)。n 任任何何具具有有正正态态分分布布N(m m,)的的随随机机变变量量X都都可可以以用用简简单单的的变变换换（减减去去其其均均值值m m，再再除除以以标标准准差差）：Z=(X-m)/m)/，而而成成为为标标准准正正态态随随机机变变量量。这这种种变变换换和和标标准准分分数数的的意意义义类似。类似。两条正态分布的密度曲线。左边是两条正态分布的密度曲线。左边是N(-2,0.5)分布，右边是分布，右边是N(0,1)分布分布 5-8统计学统计学(第三版第三版)和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响xf(x)CAB5-9统计学统计学(第三版第三版)概率密度函数概率密度函数f f(x x)=)=随机变量随机变量随机变量随机变量 X X 的频数的频数的频数的频数 =总体方差总体方差总体方差总体方差 =3.14159=3.14159;e=;e=2.718282.71828x x=随机变量的取值随机变量的取值随机变量的取值随机变量的取值 (-(-x x 02.正正态态曲曲线线的的最最高高点点在在均均值值，它它也也是是分分布布的中位数和众数的中位数和众数3.正正态态分分布布是是一一个个分分布布族族，每每一一特特定定正正态态分分布布通通过过均均值值 的的标标准准差差 来来区区分分。决决定定曲曲线线的的高高度度，决决定定曲曲线线的的平平缓缓程程度度，即即宽宽度度5-11统计学统计学(第三版第三版)正态分布函数的性质正态分布函数的性质4.曲曲线线f(x)相相对对于于均均值值 对对称称，尾尾端端向向两两个个方方向向无无限限延延伸伸，且且理理论论上上永永远远不不会会与与横横轴相交轴相交5.正态正态曲线下的总面积等于曲线下的总面积等于16.随机随机变量的概率由曲线下的面积给出变量的概率由曲线下的面积给出正态分布正态分布n当当然然，和和所所有有连连续续变变量量一一样样，正正态态变变量量落落在在某某个个区区间间的的概概率率就就等等于于在在这这个个区区间间上上，密密度度曲曲线线下下面面的面积。的面积。n比比如如，标标准准正正态态分分布布变变量量落落在在区区间间(0.51,1.57)中中的的概概率率，就就是是在在标标准准正正态态密密度度曲曲线线下下面面在在0.51和和1.57之间的面积。之间的面积。n很很容容易易得得到到这这个个面面积积等等于于0.24682；也也就就是是说说，标标准准正正态态变变量量在在区区间间(0.51,1.57)中中的的概概率率等等于于0.24682。如如果果密密度度函函数数为为f f(x)，那那么么这这个个面面积积为为积分积分标准正态变量在区间标准正态变量在区间(0.51,1.57)中的中的概率概率 正态分布正态分布n我我们们有有必必要要引引进进总总体体的的下下侧侧分分位位数数、上上侧侧分位数以及相应的尾概率的概念。分位数以及相应的尾概率的概念。n对对于于连连续续型型随随机机变变量量X，a a下下侧侧分分位位数数（又又称称为为a a分分位位数数，a a-quantile）定定义义为为数数xa a，它满足关系它满足关系这里的这里的a a又又称为下（左）侧尾概率称为下（左）侧尾概率（lower/left tail probability）正态分布正态分布n而而a a上上侧侧分分位位数数（又又称称a a上上分分位位数数，a a-upper quantile）定定义义为为数数xa a，它它满足关系满足关系这里的这里的a a也也称为上（右）侧尾概率称为上（右）侧尾概率（upper/right tail probability）。）。正态分布正态分布n对对于于非非连连续续型型的的分分布布，分分位位数数的的定义稍微复杂一些；定义稍微复杂一些；n显显然然，对对于于连连续续分分布布，a a上上侧侧分分位位数数等等于于(1a)a)下下侧侧分分位位数数，而而(1a)a)下侧分位数等于下侧分位数等于a a上侧分位数。上侧分位数。正态分布正态分布n通通常常用用za a表表示示标标准准正正态态分分布布的的a a上上侧侧分分位位数数，即即对对于于标标准准正正态态分分布布变量变量Z，有，有P(Zza a)=a a。n图图 4.64.6表表 示示 了了.5.5上上 侧侧 分分 位位 数数za a=z.5.5及及 相相 应应 的的 尾尾 概概 率率（a.5a.5）。）。N(0,1)分布右侧尾概率分布右侧尾概率P(zza a)=a a的示意的示意图图5-19统计学统计学(第三版第三版)正态分布的概率正态分布的概率概率是曲线下的概率是曲线下的概率是曲线下的概率是曲线下的面积面积面积面积!a ab bx xf f(x x)5-20统计学统计学(第三版第三版)标准正态分布标准正态分布(standardize the normal distribution)1.一般的正态分布取决于均值一般的正态分布取决于均值 和标准差和标准差 2.计计算算概概率率时时，每每一一个个正正态态分分布布都都需需要要有有自自己己的的正正态态概概率率分分布布表表，这这种种表表格格是是无无穷穷多的多的3.若若能能将将一一般般的的正正态态分分布布转转化化为为标标准准正正态态分分布，计算概率时只需要查一张表布，计算概率时只需要查一张表5-21统计学统计学(第三版第三版)标准正态分布函数标准正态分布函数2.标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数1.任任任任何何何何一一一一个个个个一一一一般般般般的的的的正正正正态态态态分分分分布布布布，可可可可通通通通过过过过下下下下面面面面的的的的线线线线性性性性变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布3.标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数5-22统计学统计学(第三版第三版)标准正态分布标准正态分布x 一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布 1 1Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 5-23统计学统计学(第三版第三版)标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用1.将一个一般的转换为标准正态分布2.计算概率时，查标准正态概率分布表3.对于负的 x，可由(-x)x得到4.对于标准正态分布，即XN(0,1)，有n nP P(a a X X b b)b b a a n nP P(|X|(|X|a a)2 2 a a 1 15.对于一般正态分布，即XN(,)，有5-24统计学统计学(第三版第三版)标准化的例子标准化的例子 P(5 X 6.2)x 55 11一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布6.2 1 1Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 0.120.04780.04780.04785-25统计学统计学(第三版第三版)标准化的例子标准化的例子P(2.9 X 7.1)一般正态分布一般正态分布一般正态分布一般正态分布0.16640.16640.1664.0832.0832.0832.0832标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布5-26统计学统计学(第三版第三版)正态分布正态分布(例题分析例题分析)【例例例例5.215.21】设设X X N N(0(0，1)1)，求以下概率：，求以下概率：(1)(1)P P(X X 1.5)2)2)；(3)(3)P P(-1(-1X X 3)3)；(4)(4)P P(|(|X X|2)2)解解解解：(1)(1)P P(X X 1.5)=2)=1-2)=1-P P(X X 2 2)=1-0.9972=0.0228)=1-0.9972=0.0228 (3)(3)P P(-1(-1X X 3)=3)=P P(X X 3)-3)-P P(X X-1)-1)=(3)-(3)-(-1)=(-1)=(3)1-(3)1-(1)(1)=0.9987-(1-0.8413)=0.84 =0.9987-(1-0.8413)=0.84 (4)(4)P P(|(|X X|2)=2)=P P(-2(-2 X X|2)=2)=(2)-(2)-(-2)(-2)=(2)-1-(2)-1-(2)=2(2)=2(2)-1=0.9545(2)-1=0.95455-27统计学统计学(第三版第三版)正态分布正态分布(例题分析例题分析)【例例例例5.225.22】设设X X N N(5(5，3 32 2)，求以下概率，求以下概率 (1)(1)P P(X X 10)10)；(2)(2)P P(2(2X X 1010)解解解解：(1)(1)(2)(2)5-28统计学统计学(第三版第三版)用用Excel计算正态分布的概率值计算正态分布的概率值1.标准正态分布：函数NormsDist(z)2.正态分布：函数NormDist(x,0或1)5-29统计学统计学(第三版第三版)正态分布正态分布(例题分析例题分析)【例例例例5.235.23】已已知知X X N N(10(10，0.20.22 2)，求求以以下下概概率率:(1)(1)P P(X X 9.4)9.4)；(2)(2)P P(9.5(9.5X X 10.5 3|3的概率（的概率（=0.0027=0.0027）很少）很少,因此可因此可以认为以认为X X的值几乎落在区间（的值几乎落在区间（X 3 X 3）内。）内。（因为小概率事件是不可能发生的）（因为小概率事件是不可能发生的）3.33.3准则在质量控制中有着广泛的应用准则在质量控制中有着广泛的应用:如剔除异如剔除异常值常值,控制图控制图5-31统计学统计学(第三版第三版)5.4.5 二项分布的正态近似二项分布的正态近似5-32统计学统计学(第三版第三版)二项分布的正态近似二项分布的正态近似1.根根据据德德莫莫佛佛拉拉普普拉拉斯斯定定理理，当当n n 很很大大时时，二二项项随机变量随机变量X X近似服从正态分布：近似服从正态分布：N N npnp,npnp(1-(1-p p)2.对对于于一一个个二二项项随随机机变变量量X X，当当n n很很大大时时，求求 P P(x x1 1 X X x x2 2)时可用正态分布近似为时可用正态分布近似为5-33统计学统计学(第三版第三版)为什么概率是近似的为什么概率是近似的.0.1.2.30246810 xP(x)正态曲线增加的概率正态曲线增加的概率 正态曲线减少的概率正态曲线减少的概率 二项概率：矩形的面积二项概率：矩形的面积正态概率：曲线下正态概率：曲线下从从3.53.5到到4.54.5的面积的面积增加的部分与减少增加的部分与减少增加的部分与减少的部分不一定相等的部分不一定相等的部分不一定相等5-34统计学统计学(第三版第三版)二项分布的正态近似二项分布的正态近似（实例）（实例）【例例例例5.245.24】100100台台机机床床彼彼此此独独立立地地工工作作，每每台台机机床床的的实实际际工工作作时间占全部工作时间的时间占全部工作时间的80%80%。求。求 (1)(1)任一时刻有任一时刻有70708080台机床在工作的概率台机床在工作的概率 (2)(2)任一时刻有任一时刻有8080台以上机床在工作的概率台以上机床在工作的概率 解解解解：设设X X表表示示100100机机床床中中工工作作着着的的机机床床数数，则则X X B B(100,0.8)(100,0.8)。现用正态分布近似计算，现用正态分布近似计算，=npnp=8080，2 2=npqnpq=1616，=4 4 (1)(1)(2)(2)5-35统计学统计学(第三版第三版)本章小结本章小结1.随机事件及其概率随机事件及其概率2.概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则3.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布4.连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布结结 束束