第16讲代数结构.pptx

C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC解解 f f不是不是X X到到Y Y的函数。的函数。（1）对于元素）对于元素4 4 X X，不存在，不存在y y Y,Y,使得使得4 y f。（2）对于元素）对于元素2 2 X X，有，有24 f f，25 f f，2 6 f f，这说明，这说明X X中元素中元素2 2与与Y Y中的中的3 3个元素个元素 对应，不唯一。对应，不唯一。例例 判别下列关系是否为函数。判别下列关系是否为函数。（1 1）X=1X=1，2 2，3 3，44，Y=4Y=4，5 5，66，当当x x X X，y y Y Y，且，且xyxy时时,有有xy f f（2 2）X=1X=1，2 2，3 3，44，Y=4Y=4，5 5，66，f f,C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC几种特殊的函数几种特殊的函数 定义定义 设设函函数数f：XY，如如果果Y中中的的每每一一个个元元素素都都是是X中中一一个个或多个元素的函数值，则称或多个元素的函数值，则称f为为X到到Y的满射函数。的满射函数。设设f：XY是是满满射射函函数数，即即对对于于任任意意的的y Y，必必存存在在x X使得使得f（x）=y成立。成立。例：例：A=1，2，3，4，B=a，b，c，如果如果f：ABB为为 f f（1 1）=a=a，f f（2 2）=c=c，f f（3 3）=b=b，f f（4 4）=c=c，则则f f是满射。是满射。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC几种特殊的函数几种特殊的函数 定义定义 设设函函数数f：XY，如如果果对对于于X中中的的任任意意两两个个元元素素x1和和x2，当当x1 x2时时，都都有有f（x1）f（x2），则则称称f为为X到到Y的的单射函数。单射函数。例：例：A=1，2，3，B=a，b，c，d，f：ABB为为f f（1 1）=a=a，f f（2 2）=a=a，f f（3 3）=b=b，则则f f不是单射函数。不是单射函数。f f（2 2）=c=c，则则f f是单射函数。是单射函数。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC定义定义 设设函函数数f：XY，如如果果f既既是是满满射射又又是是单单射射函函数数，则称这个函数为双射函数。则称这个函数为双射函数。(即一一对应即一一对应)例如：例如：A=1，2，3，B=a，b，c，f：AB 为为 f（1）=a，f（2）=c，f（3）=b，则则f是双射函数。是双射函数。几种特殊的函数几种特殊的函数 C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC第六章第六章 代数结构代数结构什么是代数结构？什么是代数结构？代数结构也称作代数系统。由代数结构也称作代数系统。由3 3部分组成：部分组成：1.1.一个集合，叫做代数结构的载体。一个集合，叫做代数结构的载体。2.2.定义在载体上的运算。（即封闭性的运算）定义在载体上的运算。（即封闭性的运算）3.3.载体中对于运算的特异元素，即代数常数。载体中对于运算的特异元素，即代数常数。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC例：整数，加法，例：整数，加法，0 0可以构成一个代数可以构成一个代数 （1 1）载载体体是是整整数数集集合合I=.I=.，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，.（2 2）定定义义在在整整数数集集合合上上的的加加法法运运算算“+”+”是是封封闭的。闭的。（3 3）对对于于任任意意元元素素与与0 0相相加加都都是是等等于于自自己己。故故0 0为一特异元素。为一特异元素。这个代数可以记为这个代数可以记为C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC例：整数，乘法，例：整数，乘法，0 0，1 1可以构成一个代数可以构成一个代数 （1 1）载载体体是是整整数数集集合合I=.I=.，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，.（2 2）定定义义在在整整数数集集合合上上的的加加法法运运算算“”是封闭的。是封闭的。（3 3）对对于于任任意意元元素素与与0 0相相乘乘都都是是等等于于0 0。故故0 0为一特异元素。为一特异元素。对对于于任任意意元元素素与与1 1相相乘乘都都是是等等于于自自己己 。故。故1 1为一特异元素。为一特异元素。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC一、代数常数一、代数常数 定义定义 设设*是定义在集合是定义在集合S上的一个二元运算，上的一个二元运算，如果有一个元素如果有一个元素1lS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都有，都有1l*x=x，则称，则称1l 为为S中关于运算中关于运算*的的左么元左么元；如果有一个元素如果有一个元素1rS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都有，都有x*1r=x，则称，则称1r 为为A中关于运算中关于运算*的的右么元右么元；如果如果S中的某一个元素中的某一个元素1，它既是左么元又是右么元，它既是左么元又是右么元，则称则称1为为A中关于运算中关于运算*的的么元么元。显然，对于任意元素显然，对于任意元素xA，有，有1*x=x*1=x。定义定义 设设*是定义在集合是定义在集合S上的一个二元运算，上的一个二元运算，如果有一个元素如果有一个元素elS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都有，都有el*x=x，则称，则称el 为为S中关于运算中关于运算*的的左么元左么元；如果有一个元素如果有一个元素erS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都有，都有x*er=x，则称，则称er 为为S中关于运算中关于运算*的的右么元右么元；如果如果S中的某一个元素中的某一个元素e，它既是左么元又是右么元，它既是左么元又是右么元，则称则称e为为S中关于运算中关于运算*的的么元么元。显然，对于任意元素。显然，对于任意元素xS，有，有e*x=x*e=x。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC定义定义 设设*是定义在集合是定义在集合S上的一个二元运算，上的一个二元运算，如果有一个元素如果有一个元素lS，对于任意的元素，对于任意的元素xS都有都有l*x=l，则称，则称l为为S中关于运算中关于运算*的的左零元左零元；如果有一个元素如果有一个元素rS,对于任意的元素对于任意的元素xS，都有，都有x*r=r,则称则称r为为A中关于运算中关于运算*的的右零元右零元；如果如果S中的一个元素中的一个元素，它既是左零元又是右零元，它既是左零元又是右零元，则称则称为为S中关于运算中关于运算的的零元零元。显然，对于任一元素。显然，对于任一元素aS，有，有*a=a*=。代数常数代数常数 C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC例例：代代数数A=A=如如下下表表所所示示，指指出出其其中中的幺元，零元。的幺元，零元。*a b ca a b bb a b cc a b a由表可知：由表可知：b*a/b/c=a/b/c b*a/b/c=a/b/c 故故b b为左幺元。为左幺元。无右幺元。无右幺元。a/b/c*b=ba/b/c*b=b和和a/b/c*a=aa/b/c*a=a 故故a,ba,b为右零元。为右零元。无左零元。无左零元。无幺元，零元。无幺元，零元。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC定理定理 设设*是定义在集合是定义在集合S S上的一个二元运算，且在上的一个二元运算，且在S S中有关于运算中有关于运算*的左么元的左么元e el l和右么元和右么元e er r，则，则e el l=e=er r=e=e，且，且S S中的么元是唯一的。中的么元是唯一的。定理定理 设设*是定义在集合是定义在集合S S上的一个二元运算，且在上的一个二元运算，且在S S中有关于运算中有关于运算*的左零元的左零元l l和右和右零零元元r r，则，则l l=r r=，且且S S中的中的零零元是唯一的。元是唯一的。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC定定义义 设设*是是定定义义在在集集合合S上上的的一一个个二二元元运运算算，且且e是是S中中关于运算关于运算*的么元。的么元。如如果果对对于于S中中的的任任一一元元素素a，存存在在着着S中中的的某某个个元元素素b，使使得得b*a=e，那么，那么b为为a的的左逆元左逆元；同理，如果使得同理，如果使得a*b=e成立，那么称成立，那么称b为为a的的右逆元右逆元；如如果果一一个个元元素素b，它它既既是是a的的左左逆逆元元又又是是a的的右右逆逆元元，那那么就称么就称b是是a的一个的一个逆元逆元。定理定理 设设*是定义在集合是定义在集合S S上的一个二元运算，满足结上的一个二元运算，满足结合律，如果一个元素有左逆元和右逆元，则必然相等，合律，如果一个元素有左逆元和右逆元，则必然相等，即为该元素的唯一逆元。即为该元素的唯一逆元。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC二、代数之间的关系二、代数之间的关系 为方便描述为方便描述,对代数结构采用统一记法为对代数结构采用统一记法为1、子代数、子代数 定义定义 设设A=为一代数结构，简称代数。如果为一代数结构，简称代数。如果 (1)S S (2)S对对S上的运算上的运算*和和是封闭的是封闭的 (3)k S 那么代数那么代数 A=是是A的子代数。的子代数。例例:(1)为为的子代数。的子代数。(2)为为的子代数的子代数C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC二、代数之间的关系二、代数之间的关系 2、代数同构、代数同构 定义定义 设设A=和和A=为代数。如果为代数。如果 存在一双射函数存在一双射函数h使得：使得：(1)h:SS (2)h(a*b)=h(a)*h(b)其中其中 a，b为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (3)h(a)=h(a)其中其中 a为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (4)h(k)=k 那么那么h叫做叫做A到到A的同构，的同构，A和和A互为在互为在h下的同构象。下的同构象。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC例例:R+表示正实数集合，那么表示正实数集合，那么同构于同构于。证明：证明作函数作函数h：R+R,令令h(x)=log(x).显然为双射函数。显然为双射函数。并且有并且有 a,b R+，有，有h(a b)=log(a b)=log(a)+log(b)=h(a)+h(b)h(1)=log(1)=0 所以，所以，同构于同构于。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC3、代数同态、代数同态 定义定义 设设A=和和A=为代数。为代数。H是是一个函数，使得：一个函数，使得：(1)h:SS (2)h(a*b)=h(a)*h(b)其中其中 a,b为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (3)h(a)=h(a)其中其中 a为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (4)hk)=k 那么那么h叫做叫做A到到A的同态函数，的同态函数，为为A在在h下的同态象。下的同态象。如果一个函数如果一个函数 h是代数是代数A到自身的同态函数，称为自同到自身的同态函数，称为自同态。态。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC例：函数例：函数f:II,f(x)=kx,这里这里k I，是从，是从 到到的自同态。的自同态。证明：（1）x,yI，有 f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(x)（2）f(0)=k(0)=0 所以，f 是从 到的自同态。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC3、代数的同余关系、代数的同余关系 定义定义 设是代数设是代数A=的载体的载体S上的等价关系，上的等价关系，对于一切元素对于一切元素a，b，c S，满足，满足（1）若）若a b，则则a*c b*c和和c*a c*b（2）若）若a b，则则a b则称为代数则称为代数A上的同余关系。上的同余关系。的等价类叫做关系的等价类叫做关系的同余类。的同余类。C CS S|S SWWU US ST TXDCXDC例：（例：（1）相等关系是任何代数上的同余关系。）相等关系是任何代数上的同余关系。（2）考虑代数）考虑代数A=和等价关系和等价关系 x y(x和和y是偶数是偶数)（x=y），证明），证明 其为其为A上的同余关系。上的同余关系。证明：因为证明：因为 具有交换律，所以只需证明具有交换律，所以只需证明 若若x y则则kx ky即可。即可。如果如果x y，那么存在整数，那么存在整数m，n，使得，使得x=2m,y=2n;或者或者x=y。若为前者，则对任意整数若为前者，则对任意整数k，kx=2km，ky=2kny，即，即 kx ky；若为后者，则对任意整数若为后者，则对任意整数k，kx=ky，即，即kx ky 故，故，为为A上的同余关系。上的同余关系。