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积分变换积分变换第第1讲讲傅里叶(Fourier)级数展开傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）u傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，17681830）,法国数学家、物理学家。u主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。傅里叶生平 1768年3月21日生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，1830年5月16日卒于巴黎。l9岁父母双亡，被当地教堂收养。l12岁由一主教送入地方军事学校读书。l17岁回乡教数学。l1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员；l次年到巴黎综合工科学校执教。l1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，l1801年回国后任伊泽尔省地方长官。l1817年由于对热传导理论的贡献当选为科学院院士。l1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。傅里叶生平在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数sinwt和coswt的线性组合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近吉布斯吉布斯吉布斯吉布斯现象现象现象现象研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况.1.连续或只有有限个第一类间断点2.只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间-T/2,T/2上第一类间断点和第二类间断点的区别:第二类间断点第一类间断点不满足狄氏条件的例子:而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件.实际上不连续函数都是严格上讲不存在的,但经常用不连续函数来近似一些函数,使得思维简单一些.在区间-T/2,T/2上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合,这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间V,此空间的向量就是函数,线性空间的一切理论在此空间上仍然成立.更进一步地也可以在此线性空间V上定义内积运算,这样就可以建立元素(即函数)的长度(范数),及函数间角度,及正交的概念.两个函数f和g的内积定义为:一个函数f(t)的长度为而在区间-T/2,T/2上的三角函数系1,coswt,sinwt,cos 2wt,sin 2wt,.,cos nwt,sin nwt,.是两两正交的,其中w=2p/T,这是因为cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt的线性组合.当nm时,这是因为由此不难验证而1,coswt,sinwt,.,cos nwt,sin nwt,.的函数的长度计算如下:因此,任何满足狄氏条件的周期函数fT(t),可表示为三角函数形式的傅利叶级数如下:为求an,须计算fT(t),cosnwt,即同理,为求bn,计算fT(t),sin nwt,即最后可得:而利用三角函数的指数形式指数形式可将级数表示为:如令wn=nw (n=0,1,2,.)给定fT(t),cn的计算如下:例 定义方波函数为如图所示:1-1otf(t)1现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则1-13T=4f4(t)t则Sa函数介绍内插函数Sa函数的图形:Sa(x)x前面计算出w现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)1-17T=8f8(t)t则则在T=8时,w如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w一般地,对于周期T当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是Sa函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即Sa函数的形状看作是f(t)在各个频率成份上的分布,称作f(t)的傅里叶变换.对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在-T/2,T/2之内等于f(t),在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)如图O w1 w2 w3 wn-1wnw此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,【傅氏积分定理】若f(t)在(-,+)上满足条件:1,f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;2,f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,则有(1.4)式也可以转化为三角形式又考虑到积分总结：1.在区间-T/2,T/2上的三角函数系1,coswt,sinwt,cos 2wt,sin 2wt,.,cos nwt,sin nwt,.构成一个完备正交系,其中w=2p/T。2.满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间-T/2,T/2上：1)连续或只有有限个第一类间断点;2)只有有限个极值点，这样的周期函数fT(t),可表示为三角函数形式的傅利叶级数如下:利用欧拉公式，又可以把傅氏级数表示成复指数形式：利用欧拉公式，又可以把傅氏级数表示成复指数形式：当T+时，fT(t)f(t)，上式变成：