1、返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分第四节第四节 重积分的应用重积分的应用一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到重积分的应用中把定积分的元素法推广到重积分的应用中.若要计算的某个量若要计算的某个量U U对于闭区域对于闭区域D D具有具有可加性可加性(即当即当闭区域闭区域 D D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U U相应地分相应地分成许多部分量，且成许多部分量，且 U U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭，并且在闭区域区域 D D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，相应时，相应地部分量可地部分量可近似地近似地表示为表示为 的形式，
2、其的形式，其中中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分二、几何中的应用二、几何中的应用1 1、平面图形的面积、平面图形的面积 D的面积的面积2 2、空间立体的体积、空间立体的体积例例1 1、推导球的体积公式。推导球的体积公式。返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分3 3、曲面的面积、曲面的面积返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分曲面曲面S S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面
3、面积公式为：返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式曲面面积公式为：为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式曲面面积公式为：为：同理可得同理可得返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分问：问：如何计算曲面面积？如何计算曲面面积？例例3 3、推导球的表面积公式。推导球的表面积公式。(1)(1)找到曲面显方程找到曲面显方程(2)(2)找到曲面投影域找到曲面投影域(3)(3)表为二重积分并计算表为二重积分并计算返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分解：解：返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分三
4、、物理中的应用三、物理中的应用1 1、质量、质量薄片质量薄片质量立体质量立体质量返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分2 2、质心、质心返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心.由元素法由元素法返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分3 3、转动惯量、转动惯量返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分例6.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对
5、其直径解解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例7.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分 G 为引力常数4、物体的引力、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分例8.求半径求半径 R 的均匀球的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量点返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分为球的质量返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分几何应用：平面图形面积几何应用：平面图形面积 立体体积立体体积 曲面的面积曲面的面积物理应用：质量、质心、转动惯量、对质点的引力物理应用：质量、质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）四、小结四、小结返回第七章第七章 重积分重积分微积分微积分思考题：思考题：薄片关于薄片关于 轴对称轴对称思考题解答：思考题解答：
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