1、一、重积分的几何应用一、重积分的几何应用(1)(1)平面图形的面积平面图形的面积:(2)(2)空间立体的体积空间立体的体积:(3)(3)空间曲面的面积空间曲面的面积:例例1解（一）解（一）利用二重积分来计算利用二重积分来计算xyzo解（二）解（二）利用三重积分来计算利用三重积分来计算例例1xyzo解解 1 画画 的草图的草图3 由对称性，得由对称性，得例例2xyoD1xyzo1.1.练习题练习题解解1.1.练习题练习题解解把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.二、二重积分的元素法二、二重积分的元素法假设要计算的量假设要计算的量U 关于闭区域关于闭区域D具
2、有具有可加性可加性.预备知识：预备知识：A用两组直线分割用两组直线分割A（其中一组平行于两平面（其中一组平行于两平面的交线）为的交线）为n个小矩形，个小矩形，1.设曲面设曲面S的方程为：的方程为：如图如图三、空间曲面的面积三、空间曲面的面积（教材下册（教材下册P10）3.设曲面的方程为：设曲面的方程为：2.设曲面的方程为：设曲面的方程为：1.设曲面的方程为：设曲面的方程为：解解例例1 解解例例2 xyo解解:解方程组解方程组得交线得交线:在在 面上的投影域为面上的投影域为练习题练习题练习题练习题练习练习.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解:曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上
3、投影为则则出的面积出的面积 A.oxy(x,y)四、重积分的物理应用四、重积分的物理应用 质点系的质心质点系的质心当薄片是当薄片是均匀均匀的，质心称为的，质心称为形心形心.平面薄片的质心平面薄片的质心可推广到空间体的质心可推广到空间体的质心.例5.求位于两圆和和的形心的形心.解解:利用对称性可知利用对称性可知而而之间均匀薄片之间均匀薄片 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yxr r，假定，假定),(yxr r在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴轴的转动惯量为：的转动惯量为：3.平面
4、薄片的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量:薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量:例6.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图建立坐标系如图,半圆薄片的质量半圆薄片的质量的转动惯量的转动惯量.解解例7 薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力:4.平面薄片对质点的引力同理同理为引力常数为引力常数解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知例8所求引力为所求引力为掌握掌握:四、小结与教学基本要求四、小结与教学基本要求1.1.二重积分的几何应用二重积分的几何应用:(1)(1)平面图形的面积平面图形的面积;(2)(2)空间立体的体积空间立体的体积;(3)(3)空间曲面的面积空间曲面的面积.2.2.三重积分的几何应用三重积分的几何应用:(1)(1)空间立体空间立体.习题习题 10-2(P156):18.习题习题 10-4(P175):2.xyz解：要求的曲面面积是锥面解：要求的曲面面积是锥面（习题（习题 10-4(P175):2.）
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