高等数学第二学期内容复习.pptx

第九章：多元函数微分法及其应用第九章：多元函数微分法及其应用定义定义、多元函数、多元函数、多元函数的极限和连续、多元函数的极限和连续、偏导数、偏导数、全微分、全微分、方向导数和梯度、方向导数和梯度、极值、极值定理定理、有界闭区域上连续函数的最大和最小值、有界闭区域上连续函数的最大和最小值、有界闭区域上连续函数的介值定理、有界闭区域上连续函数的介值定理、混合偏导数相等定理、混合偏导数相等定理、偏导数与全微分的关系定理、偏导数与全微分的关系定理可微可微偏导数存在偏导数存在偏导数连续偏导数连续可微可微、极值存在的必要条件和充分条件定理、极值存在的必要条件和充分条件定理公式公式、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则）设，则）设，）设，）设）设则则则则5）设）设则则4）设，）设，则则）设是由方程所确定的）设是由方程所确定的隐函数，三元函数有连续偏导数，且隐函数，三元函数有连续偏导数，且、隐函数的求导公式、隐函数的求导公式）设是由方程所确定的隐函）设是由方程所确定的隐函数，且二元函数有连续偏导数，且数，且二元函数有连续偏导数，且其中为方向的方向角其中为方向的方向角、方向导数的计算公式、方向导数的计算公式设在其可微点处设在其可微点处沿任意方向的方向导数都存在，且沿任意方向的方向导数都存在，且、多元函数极值的求法、多元函数极值的求法）无条件极值）无条件极值求二元函数极值的步骤：求二元函数极值的步骤：（）对每一个驻点求出（）对每一个驻点求出（）解方程组得驻点（）解方程组得驻点（）判断的符号（）判断的符号为极大值为极小值不是极值不能判断）条件极值（拉格朗日乘数法）条件极值（拉格朗日乘数法）求二元函数在条件求二元函数在条件下的极值的步骤：下的极值的步骤：（）令（）令其中为待定常数其中为待定常数（）令（）令（）判断上述点是否为极值（）判断上述点是否为极值求解求解重要结论重要结论、一切多元初等函数在其定义区域内连续、一切多元初等函数在其定义区域内连续、在点处具有偏导数的函数、在点处具有偏导数的函数在该点取极值的必要条件是在该点取极值的必要条件是、连续连续可微分可微分偏导数存在偏导数存在方向导数存在方向导数存在未必未必一定一定未未必必未未必必一定一定偏导数连续则一定偏导数连续则一定未必未必未必未必一一定定未未必必、二元函数在点处的连续、可微、偏、二元函数在点处的连续、可微、偏导数及方向导数等概念之间的关系导数及方向导数等概念之间的关系第十章：重积分第十章：重积分定义定义、二重积分、二重积分、三重积分、三重积分、（为的面积）、（为的面积）、性质（二重积分与三重积分类似）性质（二重积分与三重积分类似）、在上，若有、在上，若有则则、在上，若有、在上，若有则则（估值公式）（估值公式）、（积分中值定理）设在有界闭区域、（积分中值定理）设在有界闭区域上连续，上连续，则至少存在一点使则至少存在一点使公式公式、二重积分计算公式、二重积分计算公式4）极坐标系下的二重积分）极坐标系下的二重积分2）柱面坐标系下）柱面坐标系下2、三重积分计算公式、三重积分计算公式1）直角坐标系下）直角坐标系下4）截痕法3）球面坐标系下）球面坐标系下第十一章：曲线积分与曲面积分定义1、第一类曲线积分（对弧长）2、第二类曲线积分（对坐标）3）第一类曲面积分（对面积）4）第二类曲面积分（对坐标）（对弧长的曲线积分与方向无关）（对弧长的曲线积分与方向无关）性质性质、曲线积分的性质、曲线积分的性质（对坐标的曲线积分与方向有关）（对坐标的曲线积分与方向有关）、曲面积分的性质、曲面积分的性质（表示与表示与 取相反侧的有向曲面）取相反侧的有向曲面）其中是的正向边界其中是的正向边界定理定理1、（、（Green公式）设函数和公式）设函数和在分段光滑的闭曲线所围成的闭区域上具在分段光滑的闭曲线所围成的闭区域上具有一阶连续偏导数，有一阶连续偏导数，则有则有Green公式公式、（两类曲线积分间的关系）、（两类曲线积分间的关系）其中，和表示曲线的切其中，和表示曲线的切向量的方向角向量的方向角、（积分与路径无关的充要条件）、（积分与路径无关的充要条件）设函数和在设函数和在单连通区域单连通区域内具内具有一阶连续偏导数，有一阶连续偏导数，则下列四条相互等价则下列四条相互等价）在内与路径无关）在内与路径无关）在内存在一个函数，使）在内存在一个函数，使其中其中为内任一取定的点为内任一取定的点）其中为内任一分段光滑的闭曲线其中为内任一分段光滑的闭曲线）在内，等式恒成立）在内，等式恒成立、（两类曲面积分之间的关系）、（两类曲面积分之间的关系）其中其中 是有向曲面是有向曲面 上点上点处法向量的方向余弦处法向量的方向余弦、（、（Gauss公式）设空间的有界闭区域是公式）设空间的有界闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，由分片光滑的闭曲面所围成，在上具有一阶连续偏导数，在上具有一阶连续偏导数，函数函数则有则有Gauss公式公式其中曲面积分取的外侧其中曲面积分取的外侧公式公式、对弧长的曲线积分计算公式、对弧长的曲线积分计算公式）注意定积分的下限一定小于上限注意：定积分的下限一定小于上限空间曲线的计算类似空间曲线的计算类似、对坐标的曲线积分计算公式、对坐标的曲线积分计算公式）化成定积分）化成定积分（）（）（）（）、对面积的曲面积分的计算公式、对面积的曲面积分的计算公式）应用）应用Green公式计算平面曲线积分公式计算平面曲线积分）应用积分与路径无关的条件计算曲线积分）应用积分与路径无关的条件计算曲线积分如果光滑曲面的方程为和如果光滑曲面的方程为和可类似得到其它两个公式可类似得到其它两个公式、对坐标的曲面积分的计算公式、对坐标的曲面积分的计算公式）化成二重积分）化成二重积分其中为曲面的法线方向与轴正向的夹角其中为曲面的法线方向与轴正向的夹角当是锐角时，取正号；当是锐角时，取正号；当是钝角时，取负号。当是钝角时，取负号。如果曲面方程是由和给出如果曲面方程是由和给出可类似得到计算公式可类似得到计算公式）应用）应用Gauss公式，化成三重积分计算公式，化成三重积分计算、向量场的有关公式、向量场的有关公式）通量公式）通量公式通量通量其中是上点处指定侧的单位法向量其中是上点处指定侧的单位法向量）散度）散度）旋度）旋度第十二章第十二章:无穷级数无穷级数定义定义1、常数项级数、常数项级数2、级数的敛散性、级数的敛散性3、函数项级数、函数项级数4、收敛域、和函数、收敛域、和函数5、幂级数、幂级数6、幂级数的收敛半径、和函数、幂级数的收敛半径、和函数7、泰勒级数、麦克劳林级数展开、泰勒级数、麦克劳林级数展开8、函数展开成傅立叶级数、函数展开成傅立叶级数性质性质1、级数的各项乘以不为、级数的各项乘以不为0的常数后，不影响的常数后，不影响级数的敛散性。级数的敛散性。2、两个收敛级数的和仍为收敛级数。、两个收敛级数的和仍为收敛级数。3、去掉或增加级数的有限项不影响级数的敛、去掉或增加级数的有限项不影响级数的敛散性。散性。4、收敛级数加括号后所得级数仍收敛。、收敛级数加括号后所得级数仍收敛。5、收敛级数的一般项趋于、收敛级数的一般项趋于0（级数收敛的必（级数收敛的必要条件）。要条件）。6、幂级数、幂级数 在收敛区间（在收敛区间（-R，R）内的）内的和函数和函数 连续。连续。7、幂级数、幂级数 的和函数的和函数 在收敛区间在收敛区间（-R，R）内可积且有逐项积分公式）内可积且有逐项积分公式注意：逐项积分后，注意：逐项积分后，收敛半径收敛半径不变。不变。8、幂级数 的和函数 在收敛区间（-R，R）内可导且有逐项求导公式注意：逐项求导后，注意：逐项求导后，收敛半径收敛半径不变。不变。定理定理1、正项级数收敛性的判别法、正项级数收敛性的判别法1）（比较审敛法）设有两个正项级数）（比较审敛法）设有两个正项级数和，和，若已知若已知 收敛，则收敛，则 也收敛；也收敛；且且若已知若已知 发散，则发散，则 也发散。也发散。比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式若若则正项级数则正项级数 和和 有相同的敛散性。有相同的敛散性。2）（比值审敛法）设正项级数）（比值审敛法）设正项级数 ，若若当当 时，级数收敛；当时，级数收敛；当 时，级数发散时，级数发散3）（根值审敛法）设正项级数）（根值审敛法）设正项级数 ，若若当当 时，级数收敛；当时，级数收敛；当 时，级数发散时，级数发散2、交错级数的判别法（、交错级数的判别法（Leibniz定理）定理）若交错级数满足若交错级数满足则级数收敛，且和。则级数收敛，且和。）任意项级数的判别法）任意项级数的判别法若任意项级数的绝对值级数收敛，若任意项级数的绝对值级数收敛，则收敛，并称其为则收敛，并称其为绝对收敛绝对收敛；若收敛，而发散，若收敛，而发散，称称条件收敛条件收敛）Fourier级数级数收敛定理收敛定理（Dirichlet收敛定理）设是以收敛定理）设是以为周期的函数，为周期的函数，在上在上（）连续或至多有有限个第一类间断点（）连续或至多有有限个第一类间断点（）至多有有限个极值点（）至多有有限个极值点则的则的Fourier级数在上处处收敛，级数在上处处收敛，且有且有公式公式、几个典型的常数项级数的敛散性、几个典型的常数项级数的敛散性）等比级数（几何级数）等比级数（几何级数）当时，级数收敛，和为当时，级数收敛，和为当时，级数发散。当时，级数发散。）调和级数发散）调和级数发散）级数）级数级数发散级数收敛、几个重要函数的麦克劳林级数、几个重要函数的麦克劳林级数