偏导数概念描述.pptx

8.28.2.1、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算8.2.2、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第八章 定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:8.2.1、偏导数的概念偏导数的概念同样可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)说明说明：由偏导数的定义可知，求多元函数对：由偏导数的定义可知，求多元函数对一个自变量的偏导数时，只需将其它自变量一个自变量的偏导数时，只需将其它自变量看成常数看成常数.用一元函数的求导法则即可求得。用一元函数的求导法则即可求得。例例1.求解法解法1:解法解法2:在点(1,2)处的偏导数.例例2.设证证:求证例例3.设求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求的偏导数.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!偏导数的经济意义偏导数的经济意义与一元经济函数的导数类似，二元经济函数偏导数也例例 某产品的需求量Q=Q(P,y)，其中P为该产品的 价格，y为消费者的收入。有其经济意义。这是一个二元函数，需求量是价格和消费者收入的函数.1、当考虑消费者收入y不变时，价格由P 变到P+P时，需求量Q的平均变化率偏导数这是在(P,Q)时，Q对P的变化率。这是在(P,Q)时,Q对P的偏弹性。2、当考虑产品价格P不变时，消费者收入y变到y+y时，需求量Q的平均变化率偏导数这是在(P,Q)时，Q对y的变化率。这是在(P,Q)时,Q对y的偏弹性。8.2.2、高阶偏导数、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为例例4.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数.则定理定理.本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.(证明略)解解:例例4.求函数的各二阶偏导数。说明说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.函数D提示提示:令 y=k x,则在点(0,0)处()(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C)连续但不可导;(D)可导但不连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设设则提示提示:13.f(x,y)在点处偏导数存在是 f(x,y)在该点连续的 ().(A)充分条件但非必要;(B)必要条件但非充分;(C)充要条件;(D)既非充分也非必要条件.D作业作业P105 1(1),(4),(6)；5（3）