鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练22解直角三角形的应用试题.docx

课时训练(二十二)　解直角三角形的应用
(限时:30分钟)

|夯实基础|
1.[2018·宜昌] 如图K22-1,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于 (　　)

图K22-1
A.100sin35°米 B.100sin55°米
C.100tan35°米 D.100tan55°米
2.[2019·长春]如图K22-2,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为(　　)

图K22-2
A3sinα米 B.3cosα米
C.3sinα米 D.3cosα米
3.[2019·温州]某简易房示意图如图K22-3所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为 (　　)

图K22-3
A.95sinα米 B.95cosα米
C.59sinα米 D.59cosα米
4.[2019·衢州]如图K22-4,人字梯AB,AC的长都为2米,当α=50°时,人字梯顶端离地面的高度AD是　　
　　米.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19) 

图K22-4
5.[2018·咸宁] 如图K22-5,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m,那么,该建筑物的高度BC约为　　　　m.(结果保留整数,3≈1.73) 

图K22-5
6.[2019·台州] 图K22-6①是一辆在平地上滑行的滑板车,图②是其示意图,已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)

图K22-6

7.[2018·邵阳] 某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图K22-7所示,已知原阶梯式自动扶梯AB的长为10 m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m,温馨提示:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)

图K22-7

8.[2019·武威] 如图K22-8①是放置在水平面上的台灯,图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40 cm,灯罩CD=30 cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳?(参考数据:3取1.73)

图K22-8

|能力提升|
9.[2018·绵阳] 一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:3≈1.732,2≈1.414) (　　)
A.4.64海里
B.5.49海里
C.6.12海里
D.6.21海里
10.[2019·温州]图K22-9①是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为　　　　分米;当OB从水平状态旋转到OB'(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'-BE为　　　　分米. 

图K22-9
11.[2019·金华] 如图K22-10②③是某公共汽车双开门的俯视示意图,ME,EF,FN是门轴的滑动轨道,∠E=∠F=90°,两门AB,CD的门轴A,B,C,D都在滑动轨道上,两门关闭时(图②),A,D分别在E,F处,门缝忽略不计(即B,C重合);两门同时开启,A,D分别沿E→M,F→N的方向匀速滑动,带动B,C滑动.B到达E时,C恰好到达F,此时两门完全开启.已知AB=50 cm,CD=40 cm.
(1)如图③,当∠ABE=30°时,BC=　　　cm. 
(2)在(1)的基础上,当A向M方向继续滑动15 cm时,四边形ABCD的面积为　　　cm2. 

图K22-10
12.[2018·呼和浩特] 如图K22-11,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1∶3.已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°,求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含有非特殊角的三角函数和根式表示即可)

图K22-11

【参考答案】
1.C
2.A　[解析]由题意可得:sinα=BCAB=BC3,
∴BC=3sinα(米).故选A.
3.B　[解析]过点A作AD⊥BC,垂足为点D,
则BD=1.5+0.3=1.8(米).
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,cosB=BDAB,
所以AB=BDcosα=1.8cosα=95cosα.故选B.
4.1.5　[解析]由三角函数的定义得:sinα=sin50°=ADAC=AD2≈0.77,所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5米.
5.300　[解析] ∵在Rt△ABD中,AD=110 m,∠BAD=45°,∴BD=AD=110 m.
∵在Rt△ACD中,∠CAD=60°,
∴CD=AD·tan60°=110×3≈190(m).
∴BC=BD+CD≈110+190=300(m).
故该建筑物的高度BC约为300 m.
6.解:过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,AB=92,∠B=70°,
∴AD=ABsinB≈92×0.94=86.48,
∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm).
答:把手A离地面的高度约为92.5 cm.
7.解:由题意可知,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10 m,
∴AD=12AB=5 m.
在Rt△ACD中,sin∠ACD=ADAC,
∵∠ACD=15°,AD=5 m,
∴5AC≈0.26.
解得AC≈19.2.
答:AC的长度约为19.2 m.
8.解:如图,作CE⊥AB于E,DH⊥AB于H,CF⊥DH于F.

∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°,
∴四边形CEHF是矩形,
∴CE=FH.
在Rt△ACE中
∵AC=40 cm,∠A=60°,
∴CE=AC·sin60°=34.6,
∴FH=CE=34.6(cm).
∵DH=49.6 cm,
∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15(cm).
在Rt△CDF中,sin∠DCF=DFCD=1530=12,
∴∠DCF=30°,∴此时台灯光线为最佳.
9.B　[解析] 如图所示,由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,作BD⊥AC于点D,以点B为顶点,BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,

则∠BED=30°,BE=CE.设BD=x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=3x.
∴AC=AD+DE+CE=23x+2x.
∵AC=30,∴23x+2x=30.解得x=15(3-1)2≈5.49.故选B.
10.5+53　4　[解析](1)过点O分别作OL⊥MD,ON⊥AM,垂足分别为点L,N,

则四边形NMLO是矩形,∴MN=LO.
∵OC=OD=10分米,∠COD=60°,∴∠COL=30°,CL=12CO=5,OL=OC2-CL2=102-52=53,
∵∠AOC=90°,∴∠AON=30°,
∴AN=12AO=5,∴AM=5+53.
(2)过点F分别作FQ⊥OB,FP⊥OC,垂足分别为点Q,P.

在Rt△OFQ中,∠OQF=90°,∠BOD=60°,
∴OQ=2,FQ=23,
在Rt△EFQ中,∠EQF=90°,FQ=23,EF=6,
∴QE=26,BE=10-2-26=8-26.
同理可得PE'=26,
∴B'E'=2+10-26=12-26,
∴B'E'-BE=(12-26)-(8-26)=4.
11.(1)(90-453)　(2)2256　[解析](1)∵AB=50 cm,CD=40 cm,
∴AB+CD=EF=90 cm.
在Rt△ABE中,∵∠E=90°,∠ABE=30°,
∴EB=253.同理可得CF=203.
∴BC=EF-BE-CF=90-453(cm).
(2)根据题意,得AE=40,DF=32,EB=502402=30,CF=402-322=24,
∴S四边形ABCD=S梯形AEFD-S△ABE-S△CDF
=12(AE+DF)·EF-12AE·EB-12CF·DF
=12(40+32)×90-12×40×30-12×24×32
=2256.
12.解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,DE⊥AC于点E.

∴DF∶BF=1∶3.
设DF=k,则BF=3k.由勾股定理,可得BD=10k.
∴sin∠DBF=DFBD=k10k=1010,
cos∠DBF=BFBD=3k10k=31010.
∴DF=BD·sin∠DBF=6010,
BF=BD·cos∠DBF=18010.
∵∠ADE=45°,∴AE=DE=CF.
设AE=DE=CF=x.
∴BC=BF+CF=18010+x.
AC=AE+CE=AE+DF=x+6010.
在Rt△ABC中,AC=BC·tan33°,
∴x+6010=tan33°(18010+x).
∴x=18010tan33°-60101-tan33°,
∴AC=AE+CE=18010tan33°-6010tan33°1-tan33°=12010tan33°1-tan33°(米).

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