福建专版2020中考数学复习方案第七单元视图与变换课时训练36轴对称与中心对称.docx

课时训练(三十六)　轴对称与中心对称
(限时:40分钟)

|夯实基础|
1.[2019·柳州]下列四个标志是关于安全警示的标志,在这些标志中,是轴对称图形的是 (　　)

图K36-1
2.[2019·本溪]下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)

图K36-2
3.[2019·河北]如图K36-3,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为 (　　)

图K36-3
A.10 B.6
C.3 D.2
4.[2019·邵阳]如图K36-4,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD是斜边BC上的中线,将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则∠BED等于 (　　)

图K36-4
A.120° B.108°
C.72° D.36°

5.如图K36-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AD平分∠CAB交BC于点D,E,F分别是AD,AC上的动点,则CE+EF的最小值为(　　)

图K36-5
A.152 B.203
C.3 D.125
6.将一张矩形纸片折叠成如图K36-6所示的图形,若AB=10 cm,则AC=　　　　cm. 

图K36-6
7.如图K36-7,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部分的面积为　　　　. 

图K36-7
8.[2019·吉林]如图K36-8,在四边形ABCD中,AB=10,BD⊥AD,若将△BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E恰好重合,则四边形BCDE的周长为　　　　. 

图K36-8
9.[2019·甘肃]如图K36-9,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为　　　　. 

图K36-9
10.[2019·长春]如图K36-10,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF的周长为　　　　. 

图K36-10
11.[2019·徐州]如图K36-11,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.
求证:(1)∠ECB=∠FCG;
(2)△EBC≌△FGC.

图K36-11

12.[2018·荆州]如图K36-12,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕MN,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到MN上的点F处,折痕AP交MN于E;延长PF交AB于G.求证:
(1)△AFG≌△AFP;
(2)△APG为等边三角形.

图K36-12
|能力提升|
13.[2018·滨州]如图K36-13,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=3,若点M,N分别是射线OA,OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是 (　　)

图K36-13
A.362 B.332 C.6 D.3
14.[2018·自贡]如图K36-14,在△ABC中,AC=BC=2,AB=1,将它沿AB翻折得到△ABD,则四边形ADBC的形状是　　　　形,点P,E,F分别为线段AB,AD,DB上的任意一点,则PE+PF的最小值是　　　　. 

图K36-14
|思维拓展|
15.[2019·齐齐哈尔]折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.
折一折:如图K36-15①,把边长为4的正方形纸片ABCD对折,使边AB与CD重合,展开后得到折痕EF.如图②,点M为CF上一点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,展开后连接DN,MN,AN.

图K36-15
(一)填一填,做一做:
(1)图②中,∠CMD=　　　　°; 
线段NF=　　　　; 
(2)图②中,试判断△AND的形状,并给出证明.

剪一剪、折一折:将图②中的△AND剪下来,将其沿直线GH折叠,使点A落在点A'处,分别得到图③,图④.

图K36-15
(二)填一填:
(3)图③中,阴影部分的周长为　　　　; 
(4)图③中,若∠A'GN=80°,则∠A'HD=　　　　°; 
(5)图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有　　　　对; 
(6)如图④,点A'落在边ND上,若A'NA'D=mn,则AGAH=　　　　.(用含m,n的代数式表示) 

【参考答案】
1.D　2.B
3.C　[解析]如图所示,

∴n的最小值为3.
4.B　[解析]∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,∴∠C=90°-∠B=54°.
∵AD是斜边BC上的中线,∴AD=BD=CD,
∴∠BAD=∠B=36°,∠DAC=∠C=54°,
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°.
∵将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,
∴∠ADF=∠ADC=72°,
∴∠BED=∠BAD+∠ADF=36°+72°=108°.故选B.
5.D　[解析]在AB上取一点G,使AG=AF,

又∵∠CAD=∠BAD,AE=AE,
∴△AEF≌△AEG(SAS),
∴FE=EG,
∴CE+EF=CE+EG,
∴当C,E,G三点共线,且CG垂直于AB时,CE+EF的值最小,最小值为125.
6.10　[解析]如图,

∵矩形的对边平行,
∴∠1=∠ACB,
由翻折变换的性质,得∠1=∠ABC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AC=AB,
∵AB=10 cm,∴AC=10 cm.
故答案为10.
7.12　[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8,
∴菱形的面积=12×6×8=24.
∵点O是菱形两条对角线的交点,
∴阴影部分的面积=12×24=12.
8.20　[解析]∵BD⊥AD,E为AB的中点,
∴BE=DE=12AB=5,
由折叠可知BC=BE=5,CD=DE=5,
∴四边形BCDE的周长为5+5+5+5=20.
9.103　[解析]设CE=x,则BE=6-x.由折叠的性质可知,EF=CE=x,DF=CD=AB=10,
在Rt△DAF中,AD=6,DF=10,∴AF=8,
∴BF=AB-AF=10-8=2,
在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,即(6-x)2+22=x2,解得x=103,故答案为103.
10.4+22　[解析]在题图③中,由折叠的性质可知∠A=45°,AD=DF,∴FC=2,∠AFC=45°,∴CG=2,
∴FG=22,∴△GCF的周长为4+22.
11.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠BCD.
由折叠可知:∠A=∠ECG,
∴∠BCD=∠ECG,
∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF,
∴∠ECB=∠FCG.
(2)由折叠可知:∠D=∠G,AD=CG.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B,AD=BC,
∴∠B=∠G,BC=GC.
又∵∠ECB=∠FCG,∴△EBC≌△FGC.
12.证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD,使AB与CD重合,得到折痕MN,

∴MN∥AB,M,N分别为AD,BC中点,由平行线的性质可知PF=GF.
由折叠的性质得∠PFA=∠GFA=90°,又AF=AF,
∴△AFG≌△AFP(SAS).
(2)∵△AFG≌△AFP,∴AP=AG,∠2=∠3.
又∵∠2=∠1,∴∠1=∠2=∠3.
又∵∠1+∠2+∠3=90°,∴3∠2=90°,∴∠2=30°,∠PAG=2∠2=60°,∴△APG为等边三角形.
13.D　[解析]分别以OB,OA为对称轴作点P的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,P1P2.P1P2交射线OA,OB于点M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN的周长=PN+PM+MN=P1N+P2M+MN=P1P2,根据轴对称的性质可知OP1=OP2=OP=3,∠P1OP2=120°,
∴∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,
在Rt△OP1Q中,可知P1Q=32,所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN周长的最小值为3.
14.菱　154　[解析]∵AC=BC,∴△ABC是等腰三角形.
将△ABC沿AB翻折得到△ABD,∴AC=BC=AD=BD,∴四边形ADBC是菱形.
∵△ABC沿AB翻折得到△ABD,∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.
如图所示,作点E关于AB的对称点E',连接PE',根据轴对称的性质知AB垂直平分EE',

∴PE=PE',
∴PE+PF=PE'+PF,
当E',P,F三点共线,且E'F⊥AC时,PE+PF有最小值,该最小值即为平行线AC与BD间的距离.
作CM⊥AB于M,BG⊥AD于G,由题知AC=BC=2,AB=1,∠CAB=∠BAD,
∴cos∠CAB=cos∠BAD,即122=AG1,∴AG=14,
在Rt△ABG中,BG=AB2-AG2=1-116=154,
由题意可知BG长即为平行线AC,BD间的距离,
∴PE+PF的最小值=154.
15.解:(1)75　4-23　[解析]由折叠的性质得,四边形CDEF是矩形,∴EF=CD,∠DEF=90°,DE=AE=12AD.
∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,∴DN=CD=2DE,MN=CM,
∴∠EDN=60°,∴∠CDM=∠NDM=15°,
EN=32DN=23,∴∠CMD=75°,NF=EF-EN=4-23.
故答案为:75; 4-23.
(2)△AND是等边三角形.
证明:在△AEN与△DEN中,AE=DE,∠AEN=∠DEN=90°,EN=EN,
∴△AEN≌△DEN(SAS),∴AN=DN.
∵∠EDN=60°,∴△AND是等边三角形.
(3)12　[解析]∵将题图②中的△AND沿直线GH折叠,使点A落在点A'处,
∴A'G=AG,A'H=AH,
∴题图③中阴影部分的周长=△ADN的周长=3×4=12.故答案为:12.
(4)40　[解析]∵将题图②中的△AND沿直线GH折叠,使点A落在点A'处,
∴∠AGH=∠A'GH,∠AHG=∠A'HG.
∵∠A'GN=80°,∴∠AGH=50°,
∴∠AHG=∠A'HG=180°-∠A-∠AGH=70°,
∴∠A'HD=180°-70°-70°=40°.故答案为:40.
(5)4　[解析]如图,设A'G与ND的交点为P,A'H与ND的交点为Q.

∵∠N=∠D=∠A'=60°,
∠NPG=∠A'PQ,∠A'QP=∠DQH,
∴△NPG∽△A'PQ∽△DHQ,
∵△AGH≌△A'GH,∴题图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4对.
故答案为:4.
(6)2m+nm+2n　[解析]∵A'NA'D=mn,∴设A'N=am(a>0),则A'D=an,
∵∠N=∠D=∠A=∠GA'H=60°,
∴∠NA'G+∠A'GN=∠NA'G+∠DA'H=120°,
∴∠A'GN=∠DA'H,∴△A'GN∽△HA'D,
∴A'GA'H=A'NDH=GNA'D,
设A'G=AG=x,A'H=AH=y,则GN=4-x,DH=4-y,
∴xy=am4-y=4-xan,解得:xy=am+44+an,
∴AGAH=xy=am+44+an=am+am+anam+an+an=2m+nm+2n.
故答案为:2m+nm+2n.

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