江西专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练22矩形.docx

课时训练(二十二)　矩形
(限时:50分钟)

|夯实基础|
1.[2019·株洲]对于任意的矩形,下列说法一定正确的是 (　　)
A.对角线垂直且相等
B.四边都互相垂直
C.四个角都相等
D.是轴对称图形,但不是中心对称图形
2.[2019·临沂]如图K22-1,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (　　)

图K22-1
A.OM=12AC B.MB=MO
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
3.[2019·大连]如图K22-2,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,若AB=4,BC=8,则D'F的长为 (　　)

图K22-2
A.25 B.4 C.3 D.2
4.[2019·江西押题卷]如图K22-3①,点P从矩形ABCD的顶点A出发沿A→B→C以2 cm/s的速度匀速运动到点C,图②是点P运动时,△APD的面积y(cm2)随运动时间x(s)变化而变化的函数关系图象,则矩形ABCD的面积为 (　　)

图K22-3
A.36 B.48
C.32 D.24
5.[2019·广州]如图K22-4,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为 (　　)

图K22-4
A.45 B.43 C.10 D.8
6.[2019·陕西]如图K22-5,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为 (　　)

图K22-5
A.1 B.32
C.2 D.4
7.[2019·台州]如图K22-6,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角α最小时,tanα等于 (　　)

图K22-6
A.14 B.12
C.817 D.815
8.如图K22-7,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是　　　　.(添加一个条件即可) 

图K22-7
9.[2019·兰州]如图K22-8,矩形ABCD,∠BAC=60°,以点A为圆心,以任意长为半径作弧分别交AB,AC于M,N两点,再分别以点M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于　　　　. 

图K22-8
10.[2019·天水]如图K22-9,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为　　　　. 

图K22-9
11.[2019·怀化]已知:如图K22-10,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是矩形.

图K22-10

12.[2019·滨州]如图K22-11,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.

图K22-11

13.[2019·娄底]如图K22-12,点E,F,G,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA(不包括端点)上运动,且满足AE=CG,AH=CF.
(1)求证:△AEH≌△CGF;
(2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由;
(3)请探究四边形EFGH的周长的一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系并说明理由.

图K22-12

|拓展提升|
14.[2019·达州]矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图K22-13,已知B(23,2),点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作PD⊥PC,交x轴于点D.有下列结论:
①OA=BC=23;
②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7;
③在运动过程中,∠CDP是一个定值;
④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为233,0.
其中正确结论的个数是 (　　)

图K22-13
A.1 B.2 C.3 D.4

【参考答案】
1.C　[解析]根据矩形的性质可知,矩形的对角线相等但不一定垂直,所以选项A是错误的;矩形相邻的边互相垂直,对边互相平行,所以选项B是错误的;矩形的四个角都是直角,所以四个角都相等是正确的;矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以选项D是错误的.故选C.
2.A　[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,
∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形.∵OM=12AC,∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形.故选A.
3.C　[解析]连接AC交EF于点O如图.

∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,∠B=∠D=90°,AC=AB2+BC2=42+82=45.
∵折叠矩形使C与A重合,EF⊥AC,AO=CO=12AC=25,∴∠AOF=∠D=90°,∠OAF=∠DAC,
∴Rt△FOA∽Rt△CDA,∴AOAF=ADAC,即25AF=845,解得AF=5,∴D'F=DF=AD-AF=8-5=3.故选C.
4.C　[解析]由图可得,AB=2×2=4,BC=(6-2)×2=8,∴矩形ABCD的面积是4×8=32.故选C.
5.A　[解析]连接AE.设AC与EF交于点O.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,AE=CE.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE.
在△AOF和△COE中,∠AOF=∠COE,OA=OC,∠OAF=∠OCE,
∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE=5,
∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,
∴AB=AE2-BE2=52-32=4,
∴AC=AB2+BC2=42+82=45.故选A.
6.C　[解析]∵BE=2AE,DF=2FC,∴AEBE=12,CFDF=12.∵G,H分别是AC的三等分点,∴AGGC=12,CHAH=12.∴AEBE=AGGC,∴EG∥BC,∴EGBC=AEAB=13,∵BC=6,∴EG=2同理可得HF∥AD,HF=2,
∴四边形EHFG为平行四边形,且EG和HF之间的距离为1,∴S四边形EHFG=2×1=2.故选C.
7.D　[解析]当点B与点E重合,点D与点G重合时,重叠部分为平行四边形且α最小.

∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM=x,∴EM=MD=8-x,EF=2,在Rt△EFM中,EF2+FM2=EM2,即22+x2=(8-x)2,
解得x=154,∴tanα=EFFM=815.故选D.
8.∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一)
9.33　[解析]由∠BAC=60°,AP是∠BAC的平分线,则∠BAP=∠CAP=30°,BE=1,则AE2,AB=3,而AE=CE,∴BC=3,故S矩形ABCD=33.
10.45　[解析]∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=5,AB=CD=3.
∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,∴AF=AD=5,EF=DE.
在Rt△ABF中,∵BF=AF2-AB2=4,
∴CF=BC-BF=5-4=1.
设CE=x,则EF=DE=3-x.在Rt△ECF中,
∵CE2+FC2=EF2,∴x2+12=(3-x)2,解得x=43,∴EF=3-x=53,
∴sin∠EFC=CEEF=45.故答案为45.
11.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴AF∥CE,AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∴四边形AECF是矩形.
12.解:(1)证明:由题意可得,△BCE≌△BFE,
∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.
∵FG∥CE,∴∠FGE=∠CEB,
∴∠FGE=∠FEG,∴FG=FE,∴FG=EC,
∴四边形CEFG是平行四边形.
又∵CE=FE,∴四边形CEFG是菱形.
(2)∵矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,
∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,
∴AF=8,∴DF=2.
设EF=x,则CE=x,DE=6-x.
∵∠FDE=90°,∴22+(6-x)2=x2,
解得x=103,∴CE=103,
∴四边形CEFG的面积是CE·DF=103×2=203.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠C=90°.
又∵AE=CG,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF(SAS).
(2)四边形EFGH是平行四边形.理由如下:
由(1)中△AEH≌△CGF得HE=FG.
∵在矩形ABCD中有∠B=∠D=90°,AB=CD,BC=AD,且有AE=CG,AH=CF,
∴HD=BF,BE=DG,
∴△BEF≌△DGH,∴EF=GH,
∴四边形EFGH为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
(3)四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长.
理由如下:
如图,连接BD,

设AE=CG=a,AH=CF=b,HD=BF=c,BE=DG=d.
由勾股定理得HE=a2+b2,HG=c2+d2,BD=(a+d)2+(b+c)2.
∴(HE+HG)2-BD2=(a2+b2+c2+d2)2-((a+d)2+(b+c)2)2=a2+b2c2+d2+2(a2+b2)(c2+d2)-(a2+b2+c2+d2+2ad+2bc)=2(a2+b2)(c2+d2)-(ad+bc).
又∵((a2+b2)(c2+d2))2-(ad+bc)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-(a2d2+b2c2+2abcd)=a2c2+b2d2-2abcd=(ac-bd)2≥0,
∴(HE+HG)2-BD2≥0.∴HE+HG≥BD.
又∵四边形EFGH为平行四边形,四边形ABCD为矩形,∴四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长.
14.D　[解析]①∵四边形OABC是矩形,B(23,2),∴OA=BC=23,故①正确
②∵点D为OA的中点,∴OD=12OA=3,∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+(3)2=7,故②正确;
③如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E,则PE⊥BC,∴四边形OFEC是矩形,

∴EF=OC=2.
设PE=a,则PF=EF-PE=2-a,在Rt△BEP中,tan∠CBO=PEBE=OCBC=33,∴BE=3PE=3a,
∴CE=BC-BE=23-3a=3(2-a).
∵PD⊥PC,∴∠CPE+∠FPD=90°.
∵∠CPE+∠PCE=90°,∴∠FPD=∠ECP.
∵∠CEP=∠PFD=90°,∴△CEP∽△PFD,∴PEFD=CEPF=CPPD,∴aFD=3(2-a)2-a,∴FD=a3,∴tan∠PDC=CPPD=PEFD=aa3=3,∴∠PDC=60°,故③正确;
④∵B(23,2),四边形OABC是矩形,∴OA=23,AB=2.∵tan∠AOB=ABOA=33,∴∠AOB=30°,
当△ODP为等腰三角形时,(Ⅰ)若OD=PD,则∠DOP=∠DPO=30°,∴∠ODP=120°,
又由③知∠PDC=60°,
∴∠ODC=60°,∴OD=33OC=233;
(Ⅱ)若OP=OD,则∠ODP=∠OPD=75°.
∵∠COD=∠CPD=90°,∴∠OCP=105°>90°,故不合题意舍去;
(Ⅲ)若OP=PD,则∠POD=∠PDO=30°,
∴∠OCP=150°>90°,故不合题意舍去,
∴当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为233,0.故④正确,故选D.

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