福建专版2020中考数学复习方案第六单元圆课时训练31圆的有关性质.docx

课时训练(三十一)　圆的有关性质
(限时:30分钟)

|夯实基础|
1.如图K31-1,一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C是AB的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 (　　)

图K31-1
A.25 m B.24 m
C.30 m D.60 m
2.[2017·永州]小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图K31-2所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,得到三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是 (　　)

图K31-2
A.AB,AC边上的中线的交点
B.AB,AC边上的垂直平分线的交点
C.AB,AC边上的高所在直线的交点
D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点
3.[2019·菏泽]如图K31-3,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是 (　　)

图K31-3
A.OC∥BD
B.AD⊥OC
C.△CEF≌△BED
D.AF=FD
4.[2019·聊城]如图K31-4,BC是圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 (　　)

图K31-4
A.35° B.38°
C.40° D.42°
5.[2019·台州]如图K31-5,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为　　　　. 

图K31-5
6.[2019·安徽]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图K31-6,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.
(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)

图K31-6

7.如图K31-7,已知AB是☉O的直径,点C在半径OA上(点C与点O,A不重合),过点C作AB的垂线交☉O于点D,连接OD.过点B作OD的平行线交☉O于点E,交CD的延长线于点F.
(1)若点E是BD的中点,求∠F的度数;
(2)求证:BE=2OC.

图K31-7

|能力提升|
8.已知点A,B,C是直径为6 cm的☉O上的点,且AB=3 cm,AC=32 cm,则∠BAC的度数为 (　　)
A.15° B.75°或15°
C.105°或15° D.75°或105°
9.[2019·陇南]如图K31-8,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的2倍,则∠ASB的度数是 (　　)

图K31-8
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
10.[2019·襄阳]如图K31-9,AD是☉O的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P,下列结论错误的是 (　　)

图K31-9
A.AP=2OP B.CD=2OP
COB⊥AC D.AC平分OB
11.[2019·莆田质检]如图K31-10,尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中,传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分:
①将半径为r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;
②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,两弧相交于点G;
③连接OG,以OG长为半径,从点A开始,在圆周上依次截取,
刚好将圆等分,顺次连接这些等分点构成的多边形面积为　　　　. 

图K31-10
12.如图K31-11,在5×4的网格中,弧AB经过格点C,点D是弧AB上的一点,则∠ADB=　　　　. 

图K31-11
|思维拓展|
13.[2019·盐城]如图K31-12,点A,B,C,D,E在☉O上,且AB对应的圆心角的度数为50°,则∠E+∠C=　　　　. 

图K31-12
14.[2019·绵阳]如图K31-13,AB是☉O的直径,点C为BD的中点,CF为☉O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.
(1)求证:△BFG≌△CDG;
(2)若AD=BE=2,求BF的长.

图K31-13

【参考答案】
1.A　[解析]连接OD,由垂径定理的推论可知O,D,C在同一条直线上,OC⊥AB.
设半径为r,则OC=OA=r,∵AD=12AB=20,
∴OD=OC-CD=r-10.
在Rt△ADO中,由勾股定理知:r2=202+(r-10)2,解得r=25.
2.B
3.C　[解析]∵AB是☉O的直径,BC平分∠ABD,
∴∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,∴AD⊥BD,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,
∴∠DBC=∠OCB,
∴OC∥BD,选项A成立;
∴AD⊥OC,选项B成立;
∴AF=FD,选项D成立;
∵△CEF和△BED中,没有相等的边,
∴△CEF与△BED不全等,选项C不成立,
故选C.
4.C　[解析]∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,
∴∠BOE+∠COD=220°,
∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故选C.
5.52°　[解析]∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D=180°,∵∠B=64°,∴∠D=116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D=∠AEC=116°,又∵∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠BAE=52°.
6.解:连接CO并延长,交AB于点D,∴CD⊥AB,且D为AB中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.

在Rt△AOD中,
∵AD=12AB=3,∠OAD=41.3°,
∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,
OA=ADcos41.3°≈30.75=4,
∴CD=CO+OD=AOOD=4+2.64=6.64(米).
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
7.解:(1)如图,连接OE.

∵点E是BD的中点,∴ED=BE,
∴∠BOE=∠EOD,∵OD∥BF,
∴∠DOE=∠BEO,
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°,
∵CF⊥AB,∴∠FCB=90°,∴∠F=30°.
(2)证明:过O作OM⊥BE于M,
∴∠OMB=∠DCO=90°,BE=2BM,
∵OD∥BF,∴∠COD=∠B,
∵OB=OD,∴△OBM≌△DOC,
∴BM=OC,∴BE=2OC.
8.C
9.C　[解析]作AB的垂直平分线,交圆于点C,D,
设圆心为O,CD与AB交于点E,

∵AB=2OA,∴AE=22OA,∴sin∠AOE=AEOA=22OAOA=22,∴∠AOE=45°,∴∠AOB=90°,
∴∠ASB=45°,
故选:C.
10.A　[解析]∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∵四边形OBCD是平行四边形,∴CD∥OB,CD=OB,∴∠CPO=90°,即OB⊥AC,∴选项C正确;又∵O是AD的中点,∴OP是△ACD的中位线,∴CD=2OP,∴选项B正确;∴CD=OB=2OP,即P是OB的中点,∴AC平分OB,∴选项D正确;AP与OP的数量关系无从得出,选项A错误.

11.2r2
12.135°　[解析]如图,连接BC并延长到图中的格点E,连接AE,AC,得△ACE是等腰直角三角形,则∠ACB=135°,所以∠ADB=135°.

13.155°　[解析]如图,连接OA,OB,AE,由AB对应的圆心角的度数为50°可知∠AOB=50°,又∠AOB和∠AEB分别为AB所对的圆心角和圆周角,故∠AEB=25°,又四边形AEDC是☉O的内接四边形,所以∠ACD+∠AED=180°,又∠AEB=25°,可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°.

14.解:(1)证明:∵C是BD的中点,∴CD=BC.
∵AB是☉O的直径,且CF⊥AB,
∴BC=BF,∴CD=BF,∴CD=BF.
在△BFG和△CDG中,∵∠F=∠CDG,∠FGB=∠DGC,BF=CD,
∴△BFG≌△CDG(AAS).
(2)如图,过C作CH⊥AD,交AD延长线于H,连接AC,BC,

∵CD=BC,
∴∠HAC=∠BAC.
∵CE⊥AB,
∴CH=CE.
∵AC=AC,
∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL),
∴AE=AH.
∵CD=BC,
∴CD=BC.
又∵CH=CE,
∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL),
∴DH=BE=2,
∴AE=AH=AD+DH=2+2=4,
∴AB=4+2=6.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BEC,
∵∠EBC=∠ABC,
∴△BEC∽△BCA,
∴BCAB=BEBC,
∴BC2=AB·BE=6×2=12,
∴BF=BC=23.

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