呼和浩特专版2020中考数学复习方案考前回归教材.docx

考前回归教材

1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,则图中的等腰三角形有 (　　)

图1
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.填空:
(1)如果等腰三角形的一个底角为50°,那么其余两个角的大小分别为　　　　和　　　　. 
(2)如果等腰三角形的顶角为80°,那么它的一个底角的大小为　　　　. 
3.如图2,已知∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB,只需添加一个条件是　　　　　　(只需添加一个你认为合适的条件). 

图2
4.在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.
(1)如果∠ABO+∠ADO=90°,那么▱ABCD一定是　　　　形; 
(2)如果∠AOB=∠AOD,那么▱ABCD一定是　　　　形; 
(3)如果AB=BC,AC=BD,那么▱ABCD一定是　　　　形. 
5.如图3,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,求最大正方形E的面积.

图3

6.如图4,A,P,B,C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.判断△ABC的形状,并证明你的结论.

图4

7.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.

8.如图5,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.
求证:(1)△ACD∽△ABC;
(2)△CBD∽△ABC.

图5

9.如图6,某地由于居民增多,要在公路l上增加一个公共汽车站,A,B是路边两个新建小区,这个公共汽车站建在什么位置,才能使两个小区到车站的路程一样长?(保留作图痕迹,不写作法)

图6

10.证明:三角形内角和等于180 °.
已知:△ABC(如图7所示).
求证:∠A+∠B+∠C=180°.

图7

11.如图8,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

图8

12.证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如图9,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.

图9

13.证明:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.

14.求证:
　 (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
(2)四条边相等的四边形是菱形.
　　(1)如图10,四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,求证:四边形ABCD是菱形.

图10

(2)如图11,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,求证:四边形ABCD是菱形.

图11

15.证明:圆内接四边形的对角互补.

16.求证:圆内接平行四边形是矩形.
已知:平行四边形ABCD是☉O的内接四边形,求证:四边形ABCD是矩形.

图12

17.如图13,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.求△ABC的内切圆☉O的半径r.

图13

18.如图14,分别以等腰直角三角形ACD的边AD,AC,CD为直径画半圆.求证:所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积.

图14

19.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴.

20.已知:如图15,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.

图15

21.求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
已知:如图16,在平行四边形ABCD中,AC,BD是其两条对角线.求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.

图16

22.无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.

23.如图17,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样旋转,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一.想一想,这是为什么?

图17

24.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图18所示.
(1)写出这一函数的表达式.
(2)当气体体积为1 m3时,气压是多少?
(3)当气球内的气压大于140 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气体的体积应不小于多少?

图18

25.如图19,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?请说明理由.

图19

26.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

27.二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图20所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?用判别式验证一下.一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗?
(3)结合图①②,说明二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

图20

【参考答案】
1.A
2.(1)50°　80°　2)50°
3.答案不唯一,如∠ACB=∠DBC或AB=DC等
4.矩　菱　正方
5.解:最大正方形E的面积等于正方形A,B,C,D的面积之和,即为122+162+92+122=625.
6.解:△ABC是等边三角形.
证明:在☉O中,∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角,∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC.
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC为等边三角形.
7.证明:如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,

∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE.
8.证明:(1)∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC.
(2)∵∠B=∠B,∠ACB=∠CDB=90°,
∴△CBD∽△ABC.
9.解:连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于点O,交线段AB于点E,

∵EO是线段AB的垂直平分线,
∴点O到A,B的距离相等.
∴这个公共汽车站应建在O点处,才能使两个小区到车站的路程一样长.
10.证明:如图,过点A作直线l,使l∥BC,

∵l∥BC,∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).
同理∠3=∠5.
∵∠1,∠4,∠5组成平角,
∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
11. [解析]如果把河边l近似地看成一条直线(如图),C为直线l上的一个动点,那么,上面的问题可以转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.
解:如图,作点B关于直线l的对称点B',连接AB',与直线l的交点C即为所求.

12.证明:∵OA=OC,∠AOD=∠COB,OD=OB,
∴△AOD≌△COB.
∴AD=BC,
∠OAD=∠OCB.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
13.证明:如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,
延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.

∵AE=EC,DE=EF,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∴CF∥DA,CF=DA.
∴CF∥BD,CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形,
∴DF∥BC,DF=BC.
又DE=12DF,
∴DE∥BC,且DE=12BC.
14.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC.
∵BD⊥AC,
∴BD垂直平分AC,
∴DA=DC(线段垂直平分线的性质),
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
(2)∵AD=BC,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵AD=AB,
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
15.证明:如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接OB,OD.

∵∠A所对的弧为BCD,∠C所对的弧为BAD,
又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=360°2=180°.
同理∠ABC+∠ADC=180°.
圆内接四边形的对角互补得证.
16.证明:∵平行四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠B=∠D,∠B+∠D=180°∴∠B=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.
17.解:作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,如图,

∵☉O为△ABC的内切圆,
∴OD=OE=OF=r,
∵∠ACB=90°,
∴四边形CEOF为正方形,
∴CE=CF=r,
∴AE=AD=b-r,BF=BD=a-r,
∵AD+BD=AB,
∴b-r+a-r=c,
∴r=a+b-c2.
18.证明:因为AC2+CD2=AD2,
所以12πAC22+12πCD22=12πAD22,
故以AC为直径的半圆的面积+以DC为直径的半圆的面积=以AD为直径的半圆的面积.
即S半圆AEC+S半圆DFC=S半圆ACD,
∴S半圆AEC+S半圆DFC-S弓形AGC-S弓形DHC=S半圆ACD-S弓形AGC-S弓形DHC,
故两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和等于Rt△ACD的面积.
19.解:方法一:因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),
∴a≠0,a×(-1)2+b×(-1)+c=0,a×32+b×3+c=0,
解得a≠0,b=-2a,c=-3a.
∴抛物线所对应的函数解析式为y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),
∴所求抛物线的对称轴为直线x=1.
方法二:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),
∴抛物线所对应的函数解析式可设为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),
即y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
方法三:∵抛物线是关于对称轴对称的,且其对称轴x=h与x轴垂直,
∴对称轴必过以点(-1,0)和(3,0)为端点的线段的中点,
则h-(-1)=3-h,得h=-1+32=1.
即抛物线的对称轴为直线x=1.
20.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°.
∵DE⊥AG,
∴∠DEG=∠AED=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°.
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEG=∠AED,
∴△ABF≌△DAE,∴BF=AE,
∴AF-BF=AF-AE=EF.
21.证明:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,则∠AEB=∠DFC=90°.

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF,
∴△ABE≌△DCF,∴AE=DF,BE=CF.
在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理,
得AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2,
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2,
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2.
又∵AE2+BE2=AB2,
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).
∵AB=CD,AD=BC,
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.
22.解:无论p取何值,原方程总有两个不等的实数根.理由如下:
方法一:原方程可化为x2-5x+6-p2=0.
Δ=(-5)2-4(6-p2)=1+4p2,
对任何实数p,均有1+4p2>0,
∴方程总有两个实数根,即x1=5+1+4p22,x2=5-1+4p22,且两个根不相等.
方法二:由p2=(x-3)(x-2)=x2-5x+6=x2-5x+522+6-522=x-522-14,
得x-522=p2+14,无论p取何值,p2+14≥14,因此x=52±p2+14.
故无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
23.解:设OC'交BC于点F,A'O交AB于点E,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OA=OB,∠OAB=∠OBF=45°,BO⊥AC,
∴∠AOE+∠EOB=90°.
又∵四边形A'B'C'O为正方形,
∴∠A'OC'=90°,即∠BOF+∠EOB=90°,
∴∠AOE=∠BOF.
∵∠AOE=∠BOF,AO=BO,∠OAB=∠OBF,

∴△AOE≌△BOF,
又∵两正方形的边长相等,
∴两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积,即等于一个正方形面积的四分之一.
24.解:(1)∵一定质量的气体,当温度不变时,p是V的反比例函数,
∴设p=kV(k≠0).
将A(0.8,120)代入p=kV,得120=k0.8,
解得k=96,∴该函数的表达式为p=96V.
(2)当V=1时,p=96,即气压为96 kPa.
(3)当p=140时,V=2435,由图象可知,当气球内的气压不大于140 kPa时,气体的体积应不小于2435 m3.
25.解:点E位于AB中点.理由如下:
设正方形ABCD的边长为a,因为四边形EFGH也为正方形,易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
设AE=x,则DH=CG=x,DG=CD-CG=a-x.
故HG2=DH2+DG2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.
∴S正方形EFGH=HG2=2x2-2ax+a2=2x-a22+a22≥a22(当且仅当x=a2时取等号),
∴当点E为AB中点时,正方形EFGH的面积最小.
26.解:设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随x变化的关系式为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250,自变量x的取值范围是0≤x≤30.
因此当x=5时,y取得最大值6250元.
设每件降价a元,每星期售出商品的利润y随a变化的关系式为y=(60-a-40)(300+20a)=-20a2+100a+6000=-20(a-2.5)2+6125,自变量a的取值范围是0≤a≤20,
因此抛物线开口向下,y≤6125.
∵6250>6125,∴应涨价5元.
故当商品售价定为65元时,才能使利润最大.
27.解:(1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.
(2)一元二次方程x2+2x=0有两个不相等的实数根;一元二次方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根.
验证:Δ1=22-4×1×0=4>0,
∴x2+2x=0有两个不相等的实数根.
Δ2=22-4×1×1=0,∴x2-2x+1=0有两个相等的实数根.
方程x2-2x+2=0没有实数根.
(3)从图象和(1)(2)中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根,分别为0,-2;
二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根,为1;
由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

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