呼和浩特专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练24矩形菱形试题.docx

课时训练(二十四)　矩形、菱形
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.[2019·大庆]下列说法中不正确的是 (　　)
A.四边相等的四边形是菱形
B.对角线垂直的平行四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.菱形的邻边相等
2.[2019·河北] 如图K24-1,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= (　　)

图K24-1
A.30° B.25° C.20° D.15°
3.[2019·赤峰] 如图K24-2,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是 (　　)

图K24-2
A.2.5 B.3
C.4 D.5
4.[2019·泸州] 一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为 (　　)
A.8 B.12
C.16 D.32
5.[2019·临沂] 如图K24-3,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上的两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (　　)

图K24-3
A.OM=12AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
6.[2019·广州] 如图K24-4,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为 (　　)

图K24-4
A.45 B.43
C.10 D.8
7.[2019·深圳] 如图K24-5,已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,E,F分别为AB,AD上的点,且BE=AF,EF与AC交于点G则下列结论正确的个数是 (　　)
①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形;③∠AGE=∠AFC;④若AF=1,则FGEG=13.

图K24-5
A.1 B.2 C.3 D.4
8.[2019·徐州] 如图K24-6,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为　　　　. 

图K24-6
9.[2019·仙桃] 矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是　　　　. 
10.[2019·潍坊] 如图K24-7,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB=　　　　. 

图K24-7
11.[2019·北京] 在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).
对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;
②存在无数个四边形MNPQ是矩形;
③存在无数个四边形MNPQ是菱形;
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.
所有正确结论的序号是　　　　. 
12.[2019·聊城] 在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF.求证:
(1)△ABF≌△DAE;
(2)DE=BF+EF.

图K24-8

13.[2019·青岛] 如图K24-9,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.

图K24-9

14.[2019·贺州] 如图K24-10,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.

图K24-10

|拓展提升|
15.[2019·河南] 如图K24-11,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=35a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上,则a的值为　　　　. 

图K24-11
16.[2019·梧州] 如图K24-12,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是　　　　. 

图K24-12
17.[2019·桂林] 如图K24-13,在矩形ABCD中,AB=3,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1C的中点为Q,若点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动,则点Q的运动路径长为　　　　. 

图K24-13

【参考答案】
1.C
2.D
3.A　[解析]∵四边形ABCD为菱形,∴CD=BC=204=5,且O为BD的中点,
∵E为CD的中点,∴OE为△BCD的中位线,
∴OE=12CB=2.5,故选:A.
4.C　[解析]如图所示

.∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO=12AC,DO=BO=12BD,AC⊥BD,
∵菱形的面积为28,∴12AC·BD=2OD·AO=28①,
∵菱形的边长为6,∴OD2+OA2=36②,
由①②两式可得:(OD+AO)2=OD2+OA2+2OD·AO=36+28=64.
∴OD+AO=8(负值舍去),∴2(OD+AO)=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.故选:C.
5.A　[解析]添加OM=12AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,
∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形,∵OM=12AC,
∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形,故选A.
6.A　[解析]连接AE,如图:

∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC,AE=CE,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,∠AOF=∠COE,OA=OC,∠OAF=∠OCE,
∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE=5,
∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,
∴AB=AE2-BE2=52-32=4,
∴AC=AB2+BC2=42+82=45.
故选:A.
7.D　[解析]∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴∠B=∠BAC=60°,∴AC=BC,又BE=AF,
∴△BEC≌△AFC,故①正确;
∵△BEC≌△AFC,∴FC=EC,∠FCA=∠ECB,
∴∠ECF=∠ACB=60°,∴△ECF为等边三角形,故②正确;
∵∠AGE=180°-∠BAC-∠AEG,∠AEG=∠ACF(易求),∠AFC=180°-∠FAC-∠ACF,∴∠AGE=∠AFC,故③正确;
∵AF=1=BE,∴AE=3,易得△CFG∽△CBE,
∴GFBE=CFBC,又∵△CEG∽△CAE,∴EGAE=CEAC,
∵CE=CF,AC=BC,∴GFBE=EGAE,∴GFEG=BEAE=13,故④正确.故选D.
8.16　[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵M,N分别为BC,OC的中点,∴OB=2MN=2×4=8,∴AC=2OB=16.
9.100　[解析]设矩形的一边长为x,则相邻的另一边长为20-x,矩形的面积为y,
y=x(20-x)=-x2+20x=-(x-10)2+100,即当x=10时y有最大值,为100,因此本题填100.
10.3　[解析]由翻折可得∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°,∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°.
∴DA'平分∠EDC,∵A'B'⊥DE,A'C⊥DC,
∴A'C=A'B'.∵A'B'=A'B,
∴A'C=A'B,∵BC=AD=2,∴A'C=1.
在Rt△A'DC中,tan30°=A'CDC=33,
∴DC=3.∴AB=3.
11.①②③　[解析] 如图,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O,
过点O的直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

则四边形MNPQ是平行四边形,
存在无数个四边形MNPQ是平行四边形,故①正确;
如图,当PM=QN时,四边形MNPQ是矩形,存在无数个四边形MNPQ是矩形;故②正确;
如图,当PM⊥QN时,存在无数个四边形MNPQ是菱形;故③正确;
当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,则△AMQ≌△DQP,
∴AM=QD,AQ=PD,
易知△PDQ≌△MBN,∴PD=BM,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾,故④错误.
填①②③.
12.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AD∥BC,∴∠BPA=∠DAE.
在△ABP和△DAE中,又∵∠ABC=∠AED,
∴∠BAF=∠ADE.
∵∠ABF=∠BPF,∠BPA=∠DAE,
∴∠ABF=∠DAE,
又∵AB=DA,∴△ABF≌△DAE(ASA).
(2)∵△ABF≌△DAE,∴AE=BF,DE=AF.
∵AF=AE+EF=BF+EF,
∴DE=BF+EF.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF.
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE=12OB,DF=12OD,
∴BE=DF,
在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB,∴AB=OA.
∵E是OB的中点,∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°,
同理:CF⊥OD,
∴AG∥CF,
∴EG∥CF,
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线,
∴OE∥CG,
∴EF∥CG,
∴四边形EGCF是平行四边形,
∵∠OEG=90°,
∴四边形EGCF是矩形.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB=CD,
在Rt△ABE和Rt△CDF中,AE=CF,AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形,理由如下:
∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF,
∵BC=AD,∴CE=AF,
∵CE∥AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
15.53或53　[解析] 由折叠可得,AB=AB',
∠B'=∠B=90°,BE=B'E.
由题意可得,点B'的位置有以下两种情况:
①当点B'落在矩形的边AD上时,

则四边形ABEB'为正方形,
所以BE=AB=1,则35a=1,所以a=53;
②当点B'落在边CD上时,

则由已知可得BE=EB'=35a,EC=25a,
所以ECEB'=23.
易得,△B'DA∽△ECB',所以DB'AB'=ECEB'=23,
则DB'=23.
在Rt△ADB'中,由勾股定理可得AD=53,
则a=53.
综上所述,a的值为53或53.
16.3-1　[解析]连接BD交AC于O,如图所示.

∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC=12∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,
∴OB=12AB=1,∴OA=3OB=3,∴AC=23.
由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,∴CE=AC-AE=23-2,
∵四边形AEFG是菱形,∴EF∥AG,
∴∠CEP=∠EAG=60°,
∴∠CEP+∠ACD=90°,∴∠CPE=90°,
∴PE=12CE=3-1,PC=3PE=3-3,
∴DP=CD-PC=2-(3-3)=3-1.
故答案为3-1.
17.33π　[解析]如图,连接BA1,取BC的中点O,连接OQ,BD.

∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∴tan∠ABD=ADAB=3,∴∠ABD=60°,
∵A1Q=QC,BO=OC,
∴OQ=12BA1=12AB=32,
∴点Q的运动轨迹是以O为圆心,OQ为半径的圆弧,圆心角为120°,
∴点Q的运动路径长=120·π·32180=33π.
故答案为33π.

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