呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练19等腰三角形试题.docx

课时训练(十九)　等腰三角形
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.若等腰三角形的一个角为40°,则它的底角度数为 (　　)
A.40° B.50°
C.60°或70° D.40°或70°
2.等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm,则它的周长为 (　　)
A.8 cm B.9 cm
C.10 cm D.8 cm或10 cm
3.如图K19-1,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论错误的是 (　　)

图K19-1
A.△ADE≌△ADC
B.DE=DC
C.∠ADE=∠ADC
D.BD=DC
4.[2019·天水]如图K19-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为 (　　)

图K19-2
A.(1,1)
B.(1,3)
C.(3,1)
D.(3,3)
5.下面四个说法:①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的个数是 (　　)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
6.[2019·青岛]如图K19-3,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为 (　　)

图K19-3
A.35° B.40° C.45° D.50°
7.[2019·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图K19-4所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是 (　　)

图K19-4
A.60° B.65°
C.75° D.80°
8.[2019·黄石]如图K19-5,在△ABC中,∠B50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED= (　　)

图K19-5
A.125° B.145°
C.175° D.190°
9.[2019·黔三州]如图K19-6,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为　　　　. 

图K19-6
10.[2019·常德]如图K19-7,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且D',D,B三点在同一直线上,则∠ABD的度数是　　　　. 

图K19-7
11.[2019·徐州]函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有　　　　个. 
12.[2019·齐齐哈尔]等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=12AC,则等腰三角形ABC的底角的度数为　　　　　　　　. 
13.[2019·东营]如图K19-8,在平面直角坐标系中,△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形,AC=2,点C与点E关于x轴对称,则点D的坐标是　　　　. 

图K19-8
14.[2019·武威]定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=　　　　. 
15.[2019·呼和浩特14校联考]如图K19-9,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=23,PC=4,则△ABC的边长为　　　　. 

图K19-9
16.[2019·无锡]如图K19-10,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD相交于点O.求证:
(1)△DBC≌△ECB;
(2)OB=OC.

图K19-10

|拓展提升|
17.如图K19-11,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的位置有 (　　)

图K19-11
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
18.[2019·宜宾]如图K19-12,∠EOF的顶点O是边长为2的等边三角形ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于点E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是 (　　)

图K19-12
A.32 B.235
C.33 D.34
19.[2019·呼和浩特金马学校二模]如图K19-13,△ABC是等边三角形,AB=7,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH,CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=　　　　　. 

图K19-13
20.[2019·宜宾]如图K19-14,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在同一直线上,AD与BE,BC分别交于点F,M,BE与CD交于点N.下列结论正确的是　　　　(写出所有正确结论的序号). 
①AM=BN;②△ABF≌△DNF;③∠FMC+∠FNC=180°;④1MN=1AC+1CE.

图K19-14

【参考答案】
1.D　2.C　3.D
4.B　[解析]过点B作BH⊥AO于H点,

∵△OAB是等边三角形,OA=2,
∴OH=1,BH=3.
∴点B的坐标为(1,3).
故选:B.
5.C
6.C　[解析]∵BD平分∠ABC,AE⊥BD,
∴BD是线段AE的垂直平分线,
∴AD=ED,
∴∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°,
∴∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°,
故选C.
7.D　[解析]∵OC=CD=DE,
∴∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.
∴∠DCE=2∠O,∠EDB=3∠O=75°,
∴∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,
∴∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°,
故选D.
8.C　[解析]连接DF,

∵CD⊥AB,F为边AC的中点,
∴DF=12AC=CF,
又∵CD=CF,∴CD=DF=CF,
∴△CDF是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∵∠B=50°,
∴∠BCD+∠BDC=130°,
∵∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,
∴∠DCE+∠CDE=65°,
∴∠CED=115°,
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.
故选:C.
9.34°　[解析]根据题意可得BA=BD.
∵∠B=40°,∴∠BAD=∠BDA=70°.
∵∠B=40°,∠C=36°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°,
故答案为34°.
10.22.5°　[解析]根据题意可知△ABD≌△ACD',
∴∠BAC=∠CAD'=45°,AD'=AD,
∴∠ADD'=∠AD'D=180°-45°2=67.5°,
∵D',D,B三点在同一直线上,
∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.
11.4　[解析] 作AB的垂直平分线,交x轴于坐标原点,△OAB为等腰三角形;以B为圆心,BA长为半径画圆交x轴于C2,△C2AB为等腰三角形;以A为圆心,AB长为半径画圆,交x轴于C3,C4,则△C3AB,△C4AB为等腰三角形,所以满足条件的点C有4个.

12.15°或45°或75°　[解析]分情况讨论:
(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①;

(2)当∠ABC为底角,且∠BAC为锐角时,如图②,BD=12AC=12AB,∴∠BAC=30°,则∠ABC=∠ACB=75°;

(3)当∠ABC为底角,且∠BAC为钝角时,如图③,BD=12AC=12AB,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,则∠ABC=∠C=15°.

∴△ABC的底角的度数为45°或75°或15°.
13.33,0　[解析]设CE交x轴于点F,
∵△ACE是等边三角形,点C与点E关于x轴对称,
∴CE⊥x轴,
∴∠CAD=30°,CF=12AC=1,
由勾股定理求得AF=3.
∵DA=DC,∴∠CAD=∠ACD=30°,∴∠CDF=60°.
在Rt△DFC中,∵∠CDF=60°,CF=1,
∴DF=33.
易知△ABO与△DCF全等,
∴AO=DF=33.
∴OD=AF-AO-DF=3-33-33=33,
即点D的坐标为33,0.
14.85或14　[解析]①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:180°-80°2=50°,
∴特征值k=80°50°=85;
②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°-80°-80°=20°,
∴特征值k=20°80°=14,
故答案为85或14.
15.27　[解析]将△BAP绕B点逆时针旋转60°得△BCM,则BA与BC重合,连接MP,如图,

∴BM=BP,MC=PA=2,∠PBM=60°.
∴△BPM是等边三角形,
∴PM=PB=23,
在△MCP中,PC=4,
∴PC2=PM2+MC2,且PC=2MC.
∴△PCM是直角三角形,且∠CMP=90°,∠CPM=30°.
又∵△PBM是等边三角形,∠BPM=60°,
∴∠BPC=90°,
∴BC2=PB2+PC2=(23)2+42=28,
∴BC=27.
故答案为27.
16.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ECB=∠DBC,
在△DBC与△ECB中,BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB,
∴△DBC≌△ECB(SAS).
(2)由(1)知△DBC≌△ECB,
∴∠DCB=∠EBC,∴OB=OC.
17.B
18.C　[解析]连接OB,OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,

∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵点O为△ABC的重心,
∴∠OBC=∠OBA=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB.
∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°.
∴OB=OC,∠BOC=120°,
∵ON⊥BC,BC=2,
∴BN=NC=1,
∴ON=tan∠OBC·BN=33×1=33,
∴S△OBC=12BC·ON=33.
∵∠EOF=∠BOC=120°,
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF,
即∠EOB=∠FOC.
在△EOB和△FOC中,∠OBE=∠OCF=30°,OB=OC,∠EOB=∠FOC,
∴△EOB≌△FOC(ASA).
∴S阴影=S△OBC=33.
故选:C.
19.13　[解析]作AE⊥BH,交BH的延长线于E,作BF⊥AH,交AH的延长线于F,如图.

∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°,∠BAH+∠CAH=60°,
∴∠ABH=∠CAH,
在△ABE和△CAH中,∠AEB=∠AHC,∠ABE=∠CAH,AB=CA,
∴△ABE≌△CAH,
∴BE=AH,AE=CH,
在Rt△AHE中,∠AHE=∠BHD=60°,
∴sin∠AHE=AEAH,HE=12AH,
∴AE=AH·sin60°=32AH,
∴CH=32AH,
在Rt△AHC中,AH2+32AH2=AC2=(7)2,
解得AH=2(AH=-2舍去),
∴BE=2,HE=1,AE=CH=3,
∴BH=BE-HE=2-1=1,
在Rt△BFH中,HF=12BH=12,BF=32,
∵BF∥CH,
∴△CHD∽△BFD,
∴HDFD=CHBF=332=2,
∴DH=23HF=23×12=13.
故答案为13.
20.①③④　[解析]①∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
在△BCE和△ACD中,BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,∠CAD=∠CBE,
在△DMC和△ENC中,∠MDC=∠NEC,DC=EC,∠MCD=∠NCE=60°,
∴△DMC≌△ENC(ASA),
∴DM=EN,CM=CN,
∴ADDM=BE-EN,即AM=BN,∴①正确;
②∵∠ABC=60°=∠BCD,
∴AB∥CD,∴∠BAF=∠CDF,
∵∠AFB=∠DFN,∴△ABF∽△DNF,找不出全等的条件,∴②不正确;
③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°,∠FBC=∠CAF,
∴∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°,
∴∠AFB=60°,∴∠MFN=120°,
∵∠MCN=60°,∴∠FMC+∠FNC=180°,∴③正确;
④∵CM=CN,∠MCN=60°,
∴△MCN是等边三角形,
∴∠MNC=60°,
∵∠DCE=60°,
∴MN∥AE,
∴MNAC=DNCD=CD-CNCD,
∵CD=CE,MN=CN,
∴MNAC=CE-MNCE,
∴MNAC=1-MNCE,
∴1AC=1MN-1CE,
∴1MN=1AC+1CE,∴④正确.
故答案为①③④.

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