福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练25解直角三角形及其应用.docx

课时训练(二十五)　解直角三角形及其应用
(限时:35分钟)

|夯实基础|
1.[2019·长春]如图K25-1,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为 (　　)

图K25-1
A.3sinα米 B.3cosα米
C.3sinα米 D.3cosα米
2.[2019·河北]如图K25-2,从C点观测点D的仰角是 (　　)

图K25-2
A.∠DAB B.∠DCE
C.∠DCA D.∠ADC
3.[2019·温州]某简易房示意图如图K25-3所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为 (　　)

图K25-3
A.95sinα m B.95cosα m
C.59sinα m D.59cosα m
4.[2019·重庆A卷]为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图K25-4,在一个坡度(或坡比)i=1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离为6米的点E处,测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 (　　)
(参考数据sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)

图K25-4
A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米
5.[2019·徐州]如图K25-5,无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°,测得该建筑底部C处的俯角为17°,若无人机的飞行高度AD为62 m,则该建筑的高度BC为　　　　m. 
(参考数据:sin17°≈0.29,cos17°≈0.96,tan17°≈0.31)

图K25-5
6.[2019·黄石]如图K25-6,一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向,该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处,再观测灯塔P位于南偏西60°方向,若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处,此时轮船与灯塔之间的距离PT为　　　　海里(结果保留根号). 

图K25-6
7.[2019·宜宾]如图K25-7,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)

图K25-7

8.[2019·广安]如图K25-8,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°,此时教学楼顶端G恰好在视线FH上,再向前走10米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°,A,B,C三点在同一水平线上.
(1)求古树BH的高;
(2)求教学楼CG的高.(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)

图K25-8

|能力提升|
9.[2019·益阳]南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图K25-9,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为 (　　)

图K25-9
A.asinα+asinβ B.acosα+acosβ
C.atanα+atanβ D.atanα+atanβ
10.[2019·河南]数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图K25-10所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67,3≈1.73)

图K25-10

|思维拓展|
11.[2019·温州]图K25-11①是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为　　　　分米;当OB从水平状态旋转到OB'(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'-BE为　　　　分米. 

图K25-11

【参考答案】
1.A　2.B
3.B　[解析]如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,
则BD=1.5+0.3=1.8(m).在Rt△ABD中,∠ADB=90°,cosB=BDAB,所以AB=BDcosα=1.8cosα=95cosα(m).故选B.

4.C　[解析]如图,延长DC交EA于点F,
则CF⊥EA.

∵山坡AC坡度i=1∶2.4,AC=26米,
∴令CF=k,则AF=2.4k,
由勾股定理,得k2+(2.4k)2=262,
解得k=10或k=-10(舍),
从而AF=24米,CF=10米,EF=30米.
在Rt△DEF中,tanE=DFEF,
故DF=EF·tanE=30×tan48°≈30×1.11=33.3(米),∴CD=DF-CF=23.3(米),
故选C.
5.262　[解析]过A作AE⊥BC于E,则四边形ADCE为矩形,

在Rt△ACD中,
∵AD=62,∠ACD=∠EAC=17°,
∴AE=CD=ADtan17°≈620.31=200.
∵AE⊥BE,∠BAE=45°,
∴∠ABE=∠BAE,∴BE=AE=200,
∴BC=CE+BE=AD+BE=62+200=262(m).
6.153　[解析]根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处,此时轮船与灯塔之间的距离为PT”得PT⊥MN,利用锐角三角函数关系进行求解,由题意得,MN=15×2=30(海里).
∵∠PMN=30°,∠PNT=60°,
∴∠MPN=∠PMN=30°,∴PN=MN=30海里,
∴PT=PN·sin∠PNT=153(海里).
7.解:设AM=x米,
在Rt△AFM中,∠AFM=45°,
∴FM=AM=x.
在Rt△AEM中,tan∠AEM=AMEM,
则EM=AMtan∠AEM=33x,
由题意得,FM-EM=EF=CD,
即x-33x=40,解得x=60+203,
∴AB=AM+MB=60+203+1=61+203(米).
答:该建筑物的高度AB为(61+203)米.
8.解:(1)在Rt△EFH中,∠HEF=90°,∠HFE=45°,
∴HE=EF=10,
∴BH=BE+HE=1.5+10=115,
∴古树BH的高为11.5米.
(2)在Rt△EDG中,∠GED=60°,
∴DG=DEtan60°=3DE.
设DE=x米,则DG=3x米,
在Rt△GFD中,∠GDF=90°,∠GFD=45°,
∴GD=DF=EF+DE,
∴3x=10+x,解得:x=53+5.
∴CG=DG+DC=3x+1.5=3(53+5)+1.5=16.5+53≈25.
∴教学楼CG的高约为25米.
9.C　[解析]在Rt△ABD中,∵tanβ=BDAB,∴BD=atanβ.
在Rt△ABD中,∵tanα=BCAB,∴BC=atanα.
∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.
10.解:由题意可得:CE=55,AB=21,∠A=34°,∠CBD=60°.
在Rt△ACE中,∵tanA=CEAC=55AC,
即tan34°=55AC≈0.67,
∴AC≈82.1,
∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1.
在Rt△BCD中,
∵tan∠CBD=CDBC=CD61.1,
∴tan60°=CD61.1≈1.73,
∴CD≈61.1×1.73≈105.7,
∴DE=CD-CE≈105.7-55≈51.
答:炎帝塑像DE的高度约为51 m.
11.(5+53)　4　[解析]如图①,过点O分别作OL⊥MD,ON⊥AM,垂足分别为点L,N,则∠LON=90°,四边形NMLO是矩形,∴MN=LO.

∵OC=OD=10分米,∠COD=60°,∴∠COL=30°,CL=12CD=5,OL=OC2-CL2=102-52=53.
∵∠AOC=90°,∴∠AON=30°,∴AN=12AO=5,
∴AM=5+53.
如图②,过点F分别作FQ⊥OB,FP⊥OC,垂足分别为点Q,P.

在Rt△OFQ中,∠OQF=90°,∠BOD=60°,
∴OQ=12OF=2,FQ=23.
在Rt△EFQ中,∠EQF=90°,FQ=23,EF=6,∴QE=26,BE=10-2-26=8-26;
同理可得OP=2,PE'=26,
∴B'E'=2+10-26=12-26,
∴B'E'-BE=(12-26)-(8-26)=4.

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