呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练20直角三角形与勾股定理含命题定理试题.docx

课时训练(二十)　直角三角形与勾股定理(含命题、定理)
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.[2019·岳阳]下列命题是假命题的是 (　　)
A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.同角(或等角)的余角相等
C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分
2.[2019·滨州]满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为 (　　)
A.AB=41,BC=4,AC=5 B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.cosA-12+tanB-332=0
3.[2019·毕节]如图K20-1点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 (　　)

图K20-1
A.3 B.3 C.5 D.5
4.如图K20-2,△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交AC于D点,交AB于E点,则下列结论错误的是 (　　)

图K20-2
A.AD=BC B.AD=DB C.DE=DC D.BC=AE
5.如图K20-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点,连接ED,则∠EDC的度数是 (　　)

图K20-3
A.25° B.30° C50° D.65°
6.数学文化[2019·宁波]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图K20-4,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 (　　)

图K20-4
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
7.数学文化[2019·绵阳]公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图K20-5所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形的面积是25,则(sinθ-cosθ)2= (　　)

图K20-5
A.15 B.55
C.355 D.95
8.[2019·包头]下列命题:
①若x2+kx+14是完全平方式,则k=1;
②若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一条直线上,则m=5;
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴;
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形.
其中真命题的个数是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
9.[2019·宜宾]如图K20-6,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=　　　　. 

图K20-6
10.[2019·北京]如图K20-7所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=　　　　°(点A,B,P是网格线交点). 

图K20-7
11.[2019·南京]如图K20-8,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为　　　　. 

图K20-8
12.[2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图K20-9所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=2,则CD=　　　　. 

图K20-9
13.[2019·广元]如图K20-10,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD=12AB,点E,F分别是边BC,AC的中点.
求证:DF=BE.

图K20-10

14.[2019·巴中]如图K20-11,等腰直角三角板如图K20-11所示放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.
(1)求证:EC=BD;
(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

图K20-11

|拓展提升|
15.[2019·重庆B卷]如图K20-12,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=3,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AE=1.连接DE,将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内,得△AEF,连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G,则四边形DFEG的周长为 (　　)

图K20-12
A.8 B.42
C.22+4 D.32+2
16.[2019·苏州]“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造.可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔板”.图K20-13①是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”,图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形.该“七巧板”中7块图形之一的正方形(阴影部分)的边长为　　　　cm(结果保留根号). 

图K20-13
17.[2019·南京]在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,则BC的长的取值范围是　　　　. 

【参考答案】
1.A
2.C
3.B　[解析]∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,
∴BC2=EC2-EB2=22-12=3,
∴正方形ABCD的面积=BC2=3.
故选:B.
4.A　[解析]∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,AB=2BC,

∵DE是AB的垂直平分线,∴DA=DB,故B项结论正确,不符合题意;
∵DA=DB,BD>BC,∴AD>BC,故A项结论错误,符合题意;
∵∠DBA=∠A=30°,∴∠DBE=∠DBC,
又DE⊥AB,DC⊥BC,∴DE=DC,故C项结论正确,不符合题意;
∵AB=2BC,AB=2AE,∴BC=AE,故D项结论正确,不符合题意.
故选A.
5.D　[解析]∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴∠ACD=90°-∠A=25°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCE=90°-∠ACD=65°,
∵在Rt△CDB中,E是BC的中点,
∴EC=ED,
∴∠EDC=∠DCE=65°.
6.C　[解析]设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影=c2-a2-b2+a(a+b-c),由勾股定理可知,c2=a2+b2,∴S阴影=c2-a2-b2+S重叠=S重叠,即S阴影=S重叠,故选C.
7.A　[解析]∵大正方形的面积是125,小正方形面积是25,
∴大正方形的边长为55,小正方形的边长为5,
∴55cosθ-55sinθ=5,
∴cosθ-sinθ=55,
∴(sinθ-cosθ)2=15.
故选A.
8.B　[解析] 若x2+kx+14是完全平方式,则x2+kx+14=x±122,∴k=±1,故①为假命题;
若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一条直线上,即P(1,m)在直线AB:y=x+4上,∴m=1+4=5,故②为真命题;
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,故③为假命题;
多边形的内角和为(n-2)·180°,外角和为360°,一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则(n-2)·180°=2×360°,解得n=6,这个多边形是六边形,故④为真命题.
综上,②④为真命题.故选B.
9.165　[解析]在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=5,
由cosA=ADAC=ACAB得,AC2=AD·AB,
∴AD=AC2AB=165,
故答案为:165.
10.45　[解析] 本题考查三角形的外角,可延长AP交正方形网格于点Q,连接BQ,如图所示,

经计算PQ=BQ=5,PB=10,
∴PQ2+BQ2=PB2,
即△PBQ为等腰直角三角形,
∴∠BPQ=45°,
∴∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°,
故答案为45.
11.10　[解析]∵BC的垂直平分线MN交AB于点D,∴CD=BD=3.
∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=∠B,
又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,
∴ACAB=ADAC,
∴AC2=AB·AD=5×2=10,∴AC=10.
12.6-2　[解析]在等腰直角三角形ABC中,
∵AB=2,∴BC=22,
过点A作AM⊥BD于点M,

则AM=MC=12BC=2,
在Rt△AMD中,AD=BC=22,AM=2,
∴MD=6,
∴CD=MD-MC=6-2.
13.证明:连接AE,

∵点E,F分别是边BC,AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AB,
即EF∥AD,且EF=12AB,
又∵AD=12AB,∴AD=EF,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴DF=AE,
∵在Rt△ABC中,点E是BC的中点,
∴AE=12BC=BE,∴BE=DF.
14.解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°.
∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BCD=∠CAE.
∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,
∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD.
(2)∵△AEC≌△CDB,
∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c,
∵S梯形AEDB=12(AE+BD)ED=12(a+b)(a+b),S梯形AEDB=12ab+12c2+12ab,
∴12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab,
整理可得a2+b2=c2,勾股定理得证.
15.D　[解析] ∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,AD⊥BD,∴∠DAC=∠DBG,
∵DG⊥DE,∴∠BDG=∠ADE,
∴△DBG≌△DAE(ASA),
∴BG=AE,DG=DE,
∴△DGE是等腰直角三角形,
∴∠DEC=∠DEG=45°.
在Rt△ABE中,BE=32-12=22,
∴GE=22-1,∴DE=2-22.
∵D,F关于AE对称,
∴∠FEC=∠DEC=45°,
∴EF=DE=DG=2-22,DF=GE=22-1,
∴四边形DFEG的周长为222-1+2-22=32+2.
故选D.
16.522　[解析]如图,由题意可知,等腰直角三角形①与等腰直角三角形②全等,且它们的斜边长都为12×10=5(cm),
设阴影正方形的边长为x cm,
则x5=sin45°=22,
解得x=522,故答案为522.

17.4∠ABC,AB=4,
∴当∠BAC=90°时,BC最长,是☉O的直径.
∵∠C=60°,∴∠ABC=30°,
∴BC=2AC,AB=3AC=4,
∴AC=433,∴BC=833;
当∠BAC=∠ABC时,△ABC是等边三角形,BC=AC=AB=4,
∵∠BAC>∠ABC,
∴BC长的取值范围是4