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第一章 函数及其图形1.31.51.2预备知识预备知识函数函数函数几个基本特征函数几个基本特征反函数反函数复合函数复合函数初等函数初等函数简单函数关系建立简单函数关系建立1.41.61.11.7第2页2第一章 函数及其图形 数学是这么一个东西：她提醒你有没有形灵魂，她数学是这么一个东西：她提醒你有没有形灵魂，她赋予她所发觉真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她赋予她所发觉真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她给我们内心思想添辉；她涤尽我们有生以来蒙昧与无知给我们内心思想添辉；她涤尽我们有生以来蒙昧与无知.普洛克拉斯普洛克拉斯（Proclus,410485)1.11.21.31.41.51.61.7第3页3第一章 函数及其图形 这本庞大书（我指是宇宙）中写了（自然）哲学，这本庞大书（我指是宇宙）中写了（自然）哲学，它一直敞开在我们眼前，但不首先学会了解它语言，并它一直敞开在我们眼前，但不首先学会了解它语言，并识别它书写所用字符，是不能读懂它，它是用数学语言识别它书写所用字符，是不能读懂它，它是用数学语言写成写成 伽利略伽利略（Galilei,Galileo,15641642)1.11.21.31.41.51.61.7第4页4小 知 识普洛克拉斯，古希腊柏拉图派领头人物，哲学家和大普洛克拉斯，古希腊柏拉图派领头人物，哲学家和大评论家评论家,喜爱数学，并爱写诗喜爱数学，并爱写诗伽利略，伟大意大利物理学家和天文学家，科学革命伽利略，伟大意大利物理学家和天文学家，科学革命先驱先驱,他开创了以试验事实为依据，并含有严密逻辑他开创了以试验事实为依据，并含有严密逻辑体系近代科学体系近代科学,被称为被称为“近代科学之父近代科学之父”为证实和为证实和坚持传输坚持传输 N.N.哥白尼哥白尼“日心说日心说”，他晚年受到教会迫，他晚年受到教会迫害，被终生监禁害，被终生监禁第5页5 因为实践和各门科学本身发展需要，到了16世纪，对物体运动研究成为自然科学中心问题与之相适应，数学在经历了两千多年发展之后进入了一个新时代，即变量数学时代.作为在运动中改变量及它们之间依赖关系反应，数学中产生了变量和函数概念 比如：伽利略发觉自由落体下落距离s与经历时间t平方成正比，得到著名公式确定了变量t与s 之间依赖关系，即函数关系，这就是自由落体运动规律数学表述第6页6数学一项主要任务，就是要找出反应各种实际问题中变量改变规律，即其中所蕴含变量之间函数关系函数是数学中最基本概念之一，微积分研究函数一些局部和整体性态本章介绍函数普通概念，几个惯用表示方式，最基本函数类初等函数，函数性质，以及经济学中几个惯用函数第7页71.1 预 备 知 识1.1.11.1.21.1.3集合及其运算集合及其运算绝对值及其基本性质绝对值及其基本性质区间和邻域区间和邻域第8页81.1.1 1.1.1 集合及其运算集合及其运算集合是数学中一个基本概念，比如：一个班全体学生是一个集合，一个车间某天生产全部产品也组成一个集合，全体整数则组成数一个集合，等等由此可见，集合是日常生活中常会碰到一个概念集合论是数学基础理论普通地说，含有某种指定性质事物总体称为一个集合.组成这个集合事物称为这个集合元素集合通惯用大写拉丁字母，如A,B,S,表示，其元素则用小写拉丁字母，如a,b,s,表示若S是一个集合，s 是S 中一个元素，而t不在S 中，则称s 属于S，记为s S，t不属于S，记为t S(或t S).第9页9假如集合S 只包含有限个元素，则称S 为有限集，不然称为无限集为方便计，数学中也将不含任何元素“集合”称为空集合，并用专门记号“”表示说明一个集合通常有两种方法 一个是列举法，即将集合全部元素列举出来，比如：由元素a1,a2,an 组成集合A能够表示成A=a1,a2,an.另一个是描述法，即用刻画集合中全体元素性质来说明.假设集合S是由含有某种性质P元素全体组成，我们能够将S表示为S=s|s含有性质P.第10页10比如：由全部满足条件x 1实数x 组成集合B，能够表示为B=x|x0，则|x|a表示数轴上点x与原点0之间距离小于a，即a xa所以，|x|a a xa x a第18页18例例1解以下绝对值不等式：1)|x 1|3;2)|x1|2解1)|x 1|3即为3x 13，所以2x42)|x1|2即为x12或x12,从而x 1或x 3第19页19绝对值有以下性质：设设 x,y是任意两个实数，则是任意两个实数，则1|x|0;2|x|=|x|;3|x|x|x|;4|xy|x|y|;5|x|y|x y|;6|xy|=|x|y|性质13和性质6由绝对值定义不难了解性质4是因为：由性质3，有|x|x|x|,|y|y|y|两式相加，可得|x|y|xy|x|y|，此即|xy|x|y|性质5不难对x,y不一样情况直接验证，其证从略第20页201.1.3 1.1.3 区间和邻域区间和邻域在微积分中，用得最多数集是区间和邻域设a,b R，a b，则数集x|a xb称为以a,b为端点开区间,记为(a,b)，即(a,b)=x|a x b，如图1-6(a)中线段注意，a(a,b),b(a,b)以a,b为端点闭区间a,b表示数集x|a x b，即a,b=x|a x b,如图1-6(b)中线段 图图 1-6第21页21另外，还有以a,b为端点两个半开半闭区间(a,b=x|a x b和a,b)=x|axb以上区间都是有限区间，ba 称为这些区间长度除此以外，还有无限区间为了方便起见，引进两个记号“”（读做正无穷大）和“”（读做负无穷大），并记(a,)=x|a x,a,)=x|a x,(,b)=x|x b,(,b=x|x b(a,)和(,b在数轴上表示依次为图1-7(a)和(b)中射线 图图 1-7第22页22如此，实数集R 也可表示为R=(,)=x|x 除了区间概念外，为了阐述函数局部性态，还惯用到邻域概念，它是由某点附近全部点组成集合第23页23设a是任一实数，即数轴上一点，包含a 任何一个开区间称为点a 一个邻域，记为U(a)将U(a)中去掉a 所得集合称为a 去心邻域，记为尤其，设是任一正数，则开区间(a,a)是a一个邻域（如图1-8(a)），称为点a 邻域，记为U(a,)，a 称为这个邻域中心，称为邻域半径，所以U(a,)=x|a x a=x|xa|M称为M 邻域，记为U(,M)所以U(,M)=x|x|M=(,M)(M,)（如图1-9(a)）若不需尤其说明M，U(,M)也可简单地用U()表示.一样，开区间(,M)和(M,)依次称为和邻域,可分别简记为U()和U()，如图1-9(b),(c)图图 1-9第26页261.2 函 数1.2.11.2.21.2.3函数概念函数概念函数表示法函数表示法函数运算函数运算第27页271.2.1 1.2.1 函数概念函数概念函数，是微积分也是数学中最基本一个概念先看以下各例第28页28例例 1(自由落体)如图1-10，在O点一个质点，起始时刻是静止，在重力作用下开始下落设经过时间t后它落到P点，下落距离s=|OP|，显然s由t 唯一确定，且随t 变而变.经过两个世纪左右探索，到16世纪，伽利略先是猜测，后经过做小球在斜板上滚动试验，确认 s=c t2，其中c 是一个常数，对在同一地点靠近地球表面真空中下落一切物体含有相同值（在其它星球上c 值是不一样）经过准确试验，测得 ，其中g 9.81m/s2（称为重力常数），g 表示重力作用下自由落体加速度，所以它给出了 s与t之间函数关系 图图 1-10第29页29例例 2在力学中，质量为m、速度为v 物体运动时所含有能量（称为动能）在电学中，电流强度为I 电流经过电阻为R 导线时，在单位时间内所产生热量另外，在几何中半径为r 圆面积第30页30这些例子即使详细背景不一样，t,v,I,r和s,E,Q,S各有其实际意义，但在数学上，这些变量之间关系都有一个相同抽象形式y=k x2，x 能够代表t,v,I,r，而y 对应地能够代表s,E,Q,Sx 和y 都是变量，y 值随x 值定而定，随x 变而变上式反应了y 对于x 一个依赖关系，即所谓函数关系假如将这个函数关系性质研究清楚了，那么前面那些实际变量之间关系性质也就清楚了数学一个特点是它高度抽象性，随之也就含有应用广泛性 第31页31下面给出函数普通定义定义 设数集D R，D 若有D 到R 一个映射（对应规则）f，使得对于每个xD，经过f能够确定唯一数y R 与之对应（如图1-11），则称f 为定义在D 上一个函数，y 称为f 在x 点处函数值，记为y=f(x)图图 1-11第32页32小 知 识函数这个定义是狄利克雷（函数这个定义是狄利克雷（P.P.G.G.L.L.Dirichlet,Dirichlet,18051859 18051859）于）于 1837 1837 年在他一篇讨论函数文年在他一篇讨论函数文 章中引进章中引进第33页33小 知 识函数概念建立经历了一个发展过程函数概念建立经历了一个发展过程,在在17世纪世纪,绝大部分函数绝大部分函数是经过曲线引进和进行研究是经过曲线引进和进行研究.牛顿自牛顿自1665年开始研究微积分后年开始研究微积分后,一直用一直用“流量流量”一词表示变量或函数一词表示变量或函数.莱布尼茨在莱布尼茨在1673年一篇年一篇手稿中用手稿中用“函数函数”一词表示任何一个伴随曲线上点变动而变动一词表示任何一个伴随曲线上点变动而变动量量.他在他在1714年著作历史中用年著作历史中用“函数函数”表示依赖于一个变表示依赖于一个变量量量量.作为变量作为变量 y 对变量对变量 x 依赖关系抽象模型，记号依赖关系抽象模型，记号f(x)是欧是欧拉于拉于1734年引进，从此函数概念成为微积分中一个基本概念年引进，从此函数概念成为微积分中一个基本概念.1748年欧拉在他无穷小分析引论中将年欧拉在他无穷小分析引论中将 f(x)定义为一个变定义为一个变量与一些常量经过任何方式形成解析表示式量与一些常量经过任何方式形成解析表示式.18世纪占统治地世纪占统治地位函数概念依然是：函数是由一个解析表示式位函数概念依然是：函数是由一个解析表示式(有限或无限有限或无限(如如级数级数)所给出伴随分析发展，函数概念逐步清楚，准确，概所给出伴随分析发展，函数概念逐步清楚，准确，概括而形成现在形式括而形成现在形式.第34页34函数f 能够表示为f：D R,x y通常简单地表示为y=f(x)(x D).x 称为自变量,y 称为因变量.y 与x 这种关系称为函数关系.D 称为函数f 定义域,记为D(f)或Df 函数值全体称为f 值域，记为R(f)或Rf，也可记为f(D)，有时还用Z 表示，所以R(f)=f(D)=f(x)|xD需要指出是，严格地说，f 和f(x)含义是不一样，f 表示从自变量x 到因变量y 映射或对应规则，而f(x)则表示与自变量x 对应函数值，只是为了叙述方便，常惯用f(x)(xD)来表示函数为了降低记号，也惯用y=y(x)(xD)表示函数，这时右边y 表示对应规则，左边y 表示与x 对应函数值第35页35在数学中，通惯用小写或大写拉丁字母f,g,h,F,G,H,和小写或大写希腊字母,作为表示函数记号还须注意，在函数定义中，对于每个xD(f)，对应函数值y=f(x)是唯一（所以，也称为单值函数），而对于每个yR(f)，以之作为函数值自变量x 不一定唯一比如：y=x2是定义在R 上一个函数，对于每个xR，对应函数值是x2，它值域是Z=y|y=x2,xR=y|y 0对于每个函数值yZ,对应自变量有两个,即第36页36从定义能够看到，确定一个函数有两个要素定义域和对应规则（即映射）假如有两个函数f和g，即y=f(x)(xD1)和y=g(x)(xD2)，则f 和g相同充分必要条件是：它们定义域D1和D2相同，且对应于同一自变量x 函数值f(x)和g(x)相等，即f=g D(f)=D(g)，且f(x)=g(x)(xD(f)所以，y=f(x)(xD)和s=f(t)(tD)是两个相同函数又如：f(x)=2lgx,g(x)=lgx2（“lg”表示以10为底惯用对数“log10”).D(f)=(0,),而D(g)=R0=(,0)(0,),故fg若仅限于在(0,)上讨论，则2lgx=lgx2(x 0),即在(0,)上f(x)=g(x)第37页37在坐标平面上，函数能够用一个图形来表示设有函数y=f(x),xa,b对于每个xa,b，能够确定y一个值f(x)，从而确定Oxy 平面上一个点P(x,f(x)，当x遍历a,b中全部值时,点P 轨迹 C=P(x,f(x)|xa,b称为函数y=f(x),xa,b图形（如图1-12）对于普通函数y=f(x)(xD,D 不一定是一个区间)，其图形为C=P(x,f(x)|xD 图图 1-12第38页38普通地说，一个函数确定一个图形，反之，假如图形上不一样点其横坐标也不一样（即任意两点连线不平行于y轴）,则这个图形也就确定一个函数.例例 3设其图形如图1-13所表示它确定了一个函数，称为符号函数，其定义域为实数集R，值域为1,0,1 图图 1-13第39页39例例 4设对于每个x 1,1，它确定了一个值与之相对应,从而在1,1上定义了一个函数，其值域为0,1它图形是以原点O 为中心、半径为1上半圆（如图1-14）图图 1-14第40页40函数定义域是函数概念一部分，给定了函数，自然也就给定了它定义域但有两种情况需作补充说明如在例1中,设质点落地时刻为T,则s与t函数关系是其定义域为0,T又如：圆面积S 与其半径r 函数关系是其定义域为(0,+)在实际问题中，相关函数定义域由其自变量实际允许改变范围确定第41页41另一个情况是，在数学中经常不考虑函数实际意义，而抽象地研究用某个详细算式表示函数，这时认为它定义域就是由全部使得算式有意义实数组成集合，它称为该函数自然定义域比如：函数自然定义域是R 1,1；y=loga(2x)自然定义域是(,2)；自然定义域是x|x|2，即(,22,)在给定了一个函数f解析表示式后，若未说明其定义域D(f)，则D(f)就是f 自然定义域第42页421.2.2 1.2.2 函数表示法函数表示法表示或确定函数方法通常有三种:图像法,表格法,解析法.1 1图像法比如：患者心电图显示与其心脏相关电流随时间变动函数，反应了患者心率模式，医生将患者心电图与健康人正常心电图作比较，能够了解其心脏健康情况这比用公式表示这个函数显然方便实用在报刊上，也经常会看到用图形显示某种经济指标随年份改变情况这种表示法优点是：形象、鲜明、详细，给人以一目了然之感第43页432表格法比如：某国19801985年人口预计数字以下表：它反应了该国人口与年份函数关系这种表示法优点是：与自变量取值所对应函数值不需计算，只要查表即可得到年份年份/年年198019811982198319841985人口人口/百万百万37.1839.0340.8042.5744.3646.39第44页443解析法如初等数学中正弦函数y=sinx(xR)，对数函数y=logax(x 0)等，都是用解析法表示函数例子这种用解析表示式表示函数方法是本课程中用得最多函数表示形式.在有些情况下一个函数不能用一个解析式表示.如例3中符号函数sgnx,要对自变量3个取值范围分别用3个不一样表示式表示.又如绝对值函数y=|x|,它定义域是(,),但在(,0)和0,)上需依次用不一样表示式y=x和y=x表示,其图形如图1-15这类函数称为分段函数 图图 1-15第45页45例例 5稿酬所得税T 与稿酬收入x 之间有以下关系：这是一个分段函数，其定义域为800,+)又如邮资计费方法、个人所得税收取方法等用都是分段函数第46页463)求自变量，比如说为x0函数值时，先要看x0属于哪一个表示式定义域，然后按此表示式计算x0所对应函数值对于分段函数需要注意：1)即使在自变量不一样改变范围内计算函数值算式不一样,但定义是一个函数；2)它定义域是各个表示式定义域并集；第47页47 例例 6设其定义域D(f)=2,0)0(0,3)=2,3)当x=1时,因为12,0)，此时f(x)=x1,故 f(1)=11=0当x=2时，因为2(0,3)，此时f(x)=3x，故 f(2)=32=1 y=f(x)图形如图1-16 图图 1-16第48页481.2.3 1.2.3 函数运算函数运算函数能够作四则运算设函数f,g为y=f(x),xD1和y=g(x),xD2，且D=D1D2，则定义函数f,g 和f g、差f g、积fg、商为以下函数：(f g)(x)=f(x)g(x),xD；(fg)(x)=f(x)g(x),xD；在实际应用中，经常不用抽象函数记号，而直接依次表示为y=f(x)g(x),xD;y=f(x)g(x),xD;第49页49例例 7设函数y=f(x)定义域为0,3a(a 0)，求函数g(x)=f(xa)f(2x3a)定义域解设u=xa，v=2x3a，则f(xa)=f(u),f(2x3a)=f(v)，因D(f)=0,3a，所以应有1)0u 3a，即0 xa 3a，从而a x 2a；2)0v 3a，即02x3a 3a，从而由此，函数f(xa)定义域为D1=a,2a,f(2x3a)定义域为所以g(x)定义域为第50页501.3 函数几个基本特征以后经常会用到函数以下基本性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性但要注意，并非全部函数都含有这些特征，含有某个特征函数是一个特殊函数类第51页51 1有界性给定函数y=f(x),xD设区间I D假如常数M 0使得|f(x)|M (xI)，则称函数f(x)在区间I 上有界显然，假如f(x)在I 上有界，则使上述不等式成立常数M 不是唯一，如M1,2M 等均可有界性表达在常数M 存在性假如这么M 不存在，则称f(x)在I 上无界；换言之，即对于任意一个正数M（不论多么大），若总有xI 使得|f(x)|M，则f(x)在I 上无界第52页52函数有界性还能够等价地表述为：假如常数M1,M2使得M1f(x)M2(xI)，则f(x)在I 上有界，M1称为f(x)在I 上下界，M2称为上界.同上，若f(x)在I 上有界，则其上、下界不是唯一第53页53若函数y=f(x)在a,b上有界，则其图形C：y=f(x)(xa,b)介于两水平直线y=M1，y=M2之间（如图1-17）无界函数可能有上界而无下界，也可能有下界而无上界，或既无上界又无下界函数f(x)有界性与讨论区间I 相关 图图 1-17第54页54例例 1函数y=lg(x1)在其上有界区间是（）A(1,2)B(2,3)C(1,)D(2,)解函数y=lg(x1)图形如图1-18所表示因为对数lgN 当N 无限增大时，也无限增大，而当N 0且无限趋近于0时,lgN 无限减小，即能够比任何负数都小，故lg(x1)在(1,2),(1,),(2,)上都无界.在(2,3)上，因有0lg(x1)lg2(x(2,3)，故lg(x1)在(2,3)上有界，正确答案是B 图图 1-18第55页55 2单调性给定函数y=f(x),xD，设区间ID若有f(x1)f(x2),x1,x2I,x1f(x2),x1,x2I,x1x2，则称f(x)在I 上单调降低（简称递减），如图1-19(b)所表示 图图 1-19第56页56所以，在区间I 上，若函数值f(x)随x 增加而增大(减小),则f(x)在I 上是递增（递减），有时形象地用()表示单调增加函数和单调降低函数总称为单调函数，函数这种性质叫单调性.第57页57比如：函数y=x2图形是抛物线(如图1-20),它在(0,)上单调增加，在(,0)上单调降低，但在其定义域R 上不单调又如函数y=x3,其图形称为立方抛物线（如图1-21），它在其定义域R 上是单调增加 图图 1-20图1-21第58页58例1中函数y=lg(x1)，在其定义域(1,)上是单调增加，由此可知，若(a,b)(1,)，则有lg(a1)lg(x1)lg(b1)(a x 0，使得f(xt)=f(x)(xR)，则称f(x)为周期函数，t 是它周期通常所说周期函数周期是指它最小正周期T，即T=mint|f(xt)=f(x)(xR),t 0，且T 0如sinx,cosx 都是周期为2周期函数,tanx 周期是.函数|sinx|周期为,因为|sin(x)|=|sinx|=|sinx|.函数cos(3x5)周期是，因为若t 0，使得cos(3(xt)5)=cos(3x53t)=cos(3x5)(xR)，则最小t应满足3t=2，即第63页63周期函数f(x)图形含有周期性，若其周期为T，则f(x)在区间a,aT)上图形应与在区间akT,a(k1)T)(k Z)上图形相同，所以只要将a,aT上图形向左、右无限复制，即可得到f(x)整个图形正弦曲线即是其例注意，并非任意周期函数都有最小正周期例例 5狄利克雷函数即当x 为有理数时D(x)=1，当x 是无理数时D(x)=0D(x)是一个周期函数,任何正有理数r都是它周期，但minr|r Q,r 0不存在，故D(x)无最小正周期第64页641.4 反 函 数本节介绍反函数基本概念,并讨论什么情况下函数y=f(x)(xDf)有反函数，以及反函数存在时怎样计算等问题.第65页65设函数y=f(x)定义域是Df,值域是Rf,即f:x y=f(x)Rf(xDf).将f 自变量和因变量“角色”对调，即将yRf 作为自变量，假如对每个yRf，在Df 中只有唯一x 使得f(x)=y，则将y 变成x 映射 就确定了一个新函数，即：y x=(y)Df (yRf)新函数x=(y)(yRf)称为函数y=f(x)(xDf)反函数这时，原来函数y=f(x)(xDf)称为直接函数函数 由函数f 完全确定，所以，通常将 写成f 1.所以f 和f 1在数集Df 和Rf 之间建立了一一对应关系第66页66习惯上，总是将自变量用x，因变量用y 表示，所以y=f(x)(xDf)反函数通常写成y=f 1(x)(xRf)由反函数定义可知：反函数f 1(x)定义域Df 1是直接函数f(x)值域Rf，反函数f 1(x)值域Rf 1是直接函数f(x)定义域Df，即Df 1=Rf,Rf1=Df 这里，自然会提出一个问题：在什么条件下y=f(x)(xDf)有反函数?第67页67假若y=f(x)在其定义域Df 上是单调，则有f(x1)=f(x2)x1=x2(x1,x2Df)所以，对每个yRf，只能有一个xDf 使得y=f(x)，从而能够如上确定新函数x=(y)所以，单调函数必有反函数但反之不然，即有反函数函数不一定是单调普通地说，并非每个函数都能够唯一确定一个反函数第68页68例例 1设y=x2(xR).它在定义域R 上不单调，对于给定y 0，有两个x 与之对应,即所以不能确定一个反函数但在(,0)上y=x2单调降低，在(0,)上y=x2单调增加，它们分别表示抛物线y=x2左、右半支，所以y=x2(x(,0)有反函数(x(0,)；y=x2(x(0,)有反函数(x(0,)第69页69例例 2求函数(xR,a0,a1)反函数.解函数(a 1)图形如图1-24所表示由函数式得axax2y=0,即(ax)22yax1=0对ax 配方，得(axy)2=1y2，因为ax 0(x R)，而所以，所求反函数为 图图 1-24第70页70若y=f(x)(xD)反函数是y=f 1(x)(xRf)，则后者图形可由前者图形得到实际上，设 C：y=f(x)(xD)，C1：x=f 1(y)(yRf)，C2：y=f 1(x)(xRf)，因为y=f(x),x=f 1(y)，故(x,f(x)与(f 1(y),y)是同一个点，所以C 与C1是同一个图形而点(x,y)与点(y,x)关于直线y=x 对称，故C2与C1关于y=x 对称，从而C2与C 关于直线y=x 对称,如图1-25 图图 1-25第71页71例例 3y=2x (xR)与y=log2x (x 0)互为反函数，其图形如图1-26所表示 图图 1-26第72页72例例 4求函数反函数解求分段函数反函数，只要分别求出各区间段上函数值域及其反函数即可由y=x (x 1)可知其值域为y 1，反函数为x=y;而y=x2(1x 4)值域为1y 16,反函数为又y=2x (4x)值域为160)，此时y=(x)=(lgx)2(x 0)可见复合函数y=(x)有意义第79页79还能够考虑多个函数复合例例 4设y=u2,u=sinv,v=lgx，则这三个函数复合为y=(sinv)2=(sinlgx)2例例 5函数 可看成以下函数复合，其中u,v,w 是中间变量例5中将一个复合函数“拆成”(或“分解成”)多个简单函数复合，在第三章函数导数计算中是十分主要第80页80例例 6设解引进中间变量，则函数可以看成两个函数f(t)和复合将代入sinx，即得再将代表自变量文字t 改成x，即得第81页811.6 初 等 函 数1.6.11.6.2基本初等函数基本初等函数初等函数初等函数第82页82初等数学中已经在不一样程度上讲过几个基本函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，它们连同最简单函数常数，总称为基本初等函数，微积分中常见函数都是由这些函数组成为了便于以后利用，下面做简明复习.第83页831.6.1 1.6.1 基本初等函数基本初等函数1常数函数y=c（常数）,xR,即对任意实数x，对应函数值是一个定数cy=c 图形是一条经过点(0,c)水平直线2幂函数y=x （R，是一常数）,对于任意方幂，x 在(0,+)上都有定义；对不一样，x定义域则有所不一样x2定义域是R，定义域是0,+)，而定义域则是(0,+)第84页84y=x3,图形如图1-28(a).图形如图1-28(b).y=x2,图形如图1-28(c)在(0,+)上,对不一样情况，y=x图形大致如图1-28(d).图图 1-28第85页853指数函数y=ax (a 0,a 1),x(,+),当0a 1时，ax 是单调增加函数，y=ax 图形如图1-29 图图 1-29第86页864对数函数y=logax(a0,a 1),x(0,+)，它是指数函数y=ax反函数当0a1时,logax是单调增加，y=logax 图形如图1-30以10为底对数log10 x称为常用对数，通常记为lgx，即log10 x=lgx 图图 1-30第87页875三角函数三角函数有6种，它们是正弦函数y=sinx,xR;余弦函数y=cosx,xR；正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,xRn|nZ；正割函数y=secx,余割函数y=cscx,xRn|nZ.第88页88y=sinx和y=cosx 图形如图1-31，y=tanx 和y=cotx 图形如图1-32在微积分中,三角函数自变量x表示弧度而不是度.1=弧度=0.017453292弧度,1弧度=57.2957795 图图 1-31 图图 1-32第89页896反三角函数惯用反三角函数有：反正弦函数y=arcsinx,x1,1；反余弦函数y=arccosx,x1,1；反正切函数y=arctanx,x(,+)；反余切函数y=arccotx,x(,+)它们依次是函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 在一些区间上反函数这些三角函数在它们定义域上均不单调，为了使它们能够确定反函数，必须考虑它们单调区间第90页90 y=sinx在上,y=cosx在0,上,y=tanx在上，y=cotx 在(0,)上都是单调，在这些区间上，它们反函数完全确定注意反函数定义域（值域）是直接函数值域（定义域），由此得到上述4个反三角函数值域：y=arcsinx值域是；y=arccosx值域是0,；y=arctanx值域是；y=arccotx值域是(0,)这些值域通常称为对应反三角函数主值范围第91页91比如：反三角函数图形分别如图1-33(a),(b)所表示 图图 1-33第92页92对于上述基本初等函数，要熟悉它们图形，并从图形认知它们基本特征如：y=x3是奇函数，在0,1上有界，在0,+）上无界，在其定义域上是单调增加；y=logax 当a 1时是单调增加，当0a 0，则函数y=(f(x)g(x)也是一初等函数因为若设a 1是任一正数，由有能够看成以下4个初等函数y=au,u=g(x)v,v=logaw,w=f(x)复合，故y=(f(x)g(x)也是初等函数，它通常称为幂指函数第95页951.7 简单函数关系建立1.7.11.7.2简单函数关系建立简单函数关系建立经济学中几个常见函数经济学中几个常见函数第96页96数学一项主要任务是要对讨论实际问题寻求其中蕴含函数关系，亦即将问题中所关心变量之间依赖关系用数学公式表示出来，这就是所谓建立数学模型有了数学公式或模型，就能够用各种数学方法对它进行研究，取得处理问题路径寻求函数关系，是一个综合性课题，经常需要多方面知识，下面略举数例示意第97页971.7.1 1.7.1 简单函数关系建立简单函数关系建立例例 1求椭圆任意内接长方形面积解如图1-34,设长方形在第一象限中顶点为P(x,y)，则长方形面积为 A=(2x)(2y)=4xy.因为点P 在椭圆上，其坐标应满足椭圆方程，即（因y0），所以 图图 1-34第98页98例例 2求球任意内接圆锥体体积解这个立体图形经过圆锥体对称轴一个截面如图1-35所表示，圆锥体对称轴经过球心O，设球半径为R，圆锥体底半径为r，高为h，记OC=x，则 OA=OB=R,AC=h=Rx,BC=r,所以R2=r2x2从而圆锥体体积 图图 1-35第99页99例例 3一密闭容器，其下部为圆柱形，上部呈半球形，容积V是一定数，求容器表面积与圆柱半径之间关系解如图1-36，设圆柱半径为r，高为h，则容器表面积为S=圆柱底面积圆柱侧面积半球面积=r22rh2r2=3r22rh而所以 图图 1-36第100页100例例 4一房地产企业有100套公寓房出租，当租金定为每套每个月800元时，房屋可全部租出，当租金每套每个月每提升50元时就有一套租不出去，而租出每套房企业每个月需付20元维修费，试求房租与房地产企业总收入之间关系解设每套公寓房月租金为x元，企业总收入为R 元，则企业出租公寓套数为，从而企业总收入第101页1011.7.2 1.7.2 经济学中几个常见函数经济学中几个常见函数1需求函数和供给函数一个商品市场需求量和市场供给量与产品价格有亲密关系.普通地说，降价会使需求量上升，供给量下降；反之，提价会使需求量下降，供给量上升设P 表示商品价格,市场需求量和供给量依次用D 和S 表示,若忽略市场其它原因影响，则D 和S 均是P 函数，即有D=D(P)和S=S(P)D(P)称为需求函数,S(P)称为供给函数在普通情况下，D(P)是单调降低函数，S(P)是单调增加函数有时也将D(P)反函数P=P(D)称为需求函数.第102页102假若市场上某种商品供给量与需求量相等，即该商品供需到达平衡，则此时商品价格称为均衡价格，并用P0表示，如图1-37，纵轴Q 为商品量，D=D(P)表示需求曲线，S=S(P)表示供给曲线，它们交点横坐标即为P0 图图 1-37第103页103最简单供给函数是以下线性函数：S=aPb(a,b0)，其反函数为,可见,价格最低限为,只有当时生产厂家才会提供该种商品惯用另一个供给函数是此式表示，当S=0时，即该商品最低价格为，只有当时厂家才会生产当P无限上升时，S靠近于，即该商品饱和供给量为.第104页104惯用需求函数有以下几个形式：D=aebP(a,b 0，e是一常数，见2.6节)不难求出它们反函数作为另一个表示方式需求函数第105页105 2总成本函数、总收益函数和总利润函数在生产和经营活动中经营者最关心产品成本、销售收入（或收益）和利润产品总成本是指生产和经营产品总投入,总收益是指产品出售后所得到收入，总利润则为总收益减去总成本和上缴税金后余额通常以C表示成本，R 表示收益，L 表示利润，它们都称为经济变量.若以x 表示产量或销售量，在不计市场其它原因影响情况下，C,R,L 都可简单地看成x函数，C(x)称总成本函数，R(x)称总收益函数，L(x)称总利润函数以下总假定产销是平衡为了简单起见，若无尤其说明，在计算总利润函数时不计上缴税金第106页106普通地，总成本C 由固定成本C0和可变成本C1两部分组成，C0是一个常数，与x无关，C1是x 函数，所以C(x)=C0C1(x)，它是x单调增加函数C1(0)=0，即C0=C(0)若产品销售单价为P，则 R(x)=Px，L(x)=R(x)C(x)第107页107例例 5某商品单价为100元，单位成本为60元，商家为了促销，要求凡是购置超出200单位时，对超出部分按单价九五折出售求成本函数、收益函数和利润函数解设购置量为x 单位，则C(x)=60 x，第第 一一 章章 完完 第108页108Thank you!第109页109