1、1第三第三节节 幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛域二、幂级数及其收敛域 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 2一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义:前面讲过常数项级数前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间若讲各项改变为定义在区间I I上的一个函数上的一个函数,便为便为函数项级数函数项级数。32.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:4函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域上在收敛域上)注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是 数项级
2、数的收敛问题数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)5例如例如,等比级数等比级数它的收敛域是它的收敛域是它的发散域是它的发散域是或或有和函数有和函数 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛原级数绝对收敛.8原级数发散原级数发散.收敛收敛;发散发散;91 1、定义、定义:二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 下面着重讨论下面着重讨论的情形的情形,即即2 2、收敛性、收敛性对于幂级数对于幂级数,要解决两个问题：要解决两个问题：(1)(1)如何求出它的收敛域？如何求出它的收敛域？(2)(2)如何求出收敛域内的和函数？如何求出收敛域内的和函数？从幂级数的形式不难
3、看出从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在任何幂级数在x=0处处总是收敛的总是收敛的.而对的点处而对的点处,幂级数的敛散性如何呢幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理先看下列定理.几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域14推论推论15规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?开区间开区间 叫做幂级数叫做幂级数 的的收敛区间收敛区间.定义定义:正数正数R称为幂级数称为幂级数 的的收敛半径收敛半径.收敛域可能是收敛域可能是收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。幂级数的收敛域？幂级数的收敛域？幂级数的收敛区间，幂级数的收敛区间
4、，16证明证明17（1）由比值审敛法）由比值审敛法,18定理证毕定理证毕.例例1 1 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散解解缺少奇次幂的项缺少奇次幂的项级数收敛级数收敛,例例2 求幂级数求幂级数的收敛半径。的收敛半径。级数发散级数发散,收敛半径为收敛半径为另解另解前者收敛前者收敛,后者发散后者发散所以收敛半径为所以收敛半径为R=1/2,收敛区间为收敛区间为(0.5，0.5)例例3 求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间.解：解：令令 t=(x 1),考虑考虑即即|x 1|2,1 x 2时时,原级数发散原级数发散在端点处在端点处,x=1,x=
5、3,故收敛区间为故收敛区间为 1,3)另解另解 利用比值判别法利用比值判别法故收敛区间为故收敛区间为 1,3)，收敛半径为，收敛半径为2三、幂级数的运算1 1、代数运算性质、代数运算性质加减法加减法(其中其中2 2、幂级数的和函数的分析运算性质、幂级数的和函数的分析运算性质即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.解解两边积分得两边积分得解解解解设其和函数为设其和函数为s(x)，则，则在例在例5中已得到中已得到xs(x)=ln(1x),于是于是s(x)=ln2，则，则s(x)=ln2，即：即：解解收敛区间收敛区间(-1,1),
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