系统的可观测性自用.pptx

动态系统的可控性和可观测性动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。系统可控性指的是系统可控性指的是控制作用对被控系统的控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的状态和输出进行控制的可能性。可能性。可观测性反映由能可观测性反映由能直接测量的输入输出的直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的内部动态特性的状态的可能性。可能性。2.2 2.2 系统的可观测性系统的可观测性1.1.可观性的直观讨论可观性的直观讨论q状态可观性反映系统外部可直接或间接测量的状态可观性反映系统外部可直接或间接测量的输出输出y(t)和输入和输入u(t)来确定或识别系统状态的能来确定或识别系统状态的能力。力。如果系统的任何内部运动状态变化都可由系如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入统的外部输出和输入唯一地确定唯一地确定,那么称系那么称系统是可观的统是可观的,或者更确切地说或者更确切地说,是状态可观的。是状态可观的。否则否则,就称系统为状态不完全可观的。就称系统为状态不完全可观的。一一.线性定常系统的可观测性及其判据线性定常系统的可观测性及其判据例例2.2.1 2.2.1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为给定系统的状态空间模型与结构图分别为本例中本例中,输出变量输出变量y(t)即为状态变量即为状态变量x1(t)，因此因此,由由y(t)的的测量值可直接得到测量值可直接得到x1(t)的值的值,即状态变量即状态变量x1(t)可由输出可由输出唯一确定。唯一确定。1/s-2-11/s而由状态变量而由状态变量x2(t)所满足的状态方程及其运动状态的所满足的状态方程及其运动状态的解可知解可知,x2(t)的运动轨迹由的运动轨迹由x2(t)的初始状态的初始状态x2(t0),x1(t)和输入和输入u(t)三者共同决定。因此三者共同决定。因此,由测量到的输出由测量到的输出y(t)和输入和输入u(t)并不能唯一确定出状态变量并不能唯一确定出状态变量x2(t)的值的值,即即状态状态x2(t)是状态不能观的。是状态不能观的。因此因此,整个系统的状态是不完全能观的。整个系统的状态是不完全能观的。2 2可观性定义可观性定义1 1）系统完全可观测）系统完全可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始始时时刻刻 ，存存在在一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输入入 和和输输出出 能能唯唯一一确确定定状状态态向向量量的的初初值值 ，则则称称系系统统在在 内内是是完完全全可可观观测测的的，简简称称可可观测。如果对于一切观测。如果对于一切 系统都是可观测的，则称系统在系统都是可观测的，则称系统在 内是完全可观测的。内是完全可观测的。对时不变系统同样适用对时不变系统同样适用2 2）系统不可观测）系统不可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始始时时刻刻 ，存存在在一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输入入 和和输输出出 不不能能唯唯一一确确定定所所有有状状态态的的初初值值 （至至少少有有一一个个状状态态的的初初值值不不能能被被确确定定），则则称称系统在系统在 内是不完全可观测的，简称不可观测。内是不完全可观测的，简称不可观测。考虑输入考虑输入u0时系统的状态方程和输出方程时系统的状态方程和输出方程其中，其中，x为为n维状态向量；维状态向量；y为为q维输出向量；维输出向量；A和和C分别为分别为nn和和qn的常值矩阵。的常值矩阵。3.3.线性定常连续系统的可观测性判据线性定常连续系统的可观测性判据 1 1）格拉姆矩阵判据）格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统线性定常连续系统 完全可观测的充要条件是，存在完全可观测的充要条件是，存在有限时刻有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵：使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。为非奇异。证明证明 充分性：已知充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观非奇异，欲证系统为完全可观测。由式测。由式 可得可得将式将式 左乘左乘 ，然后从，然后从0 0到到 积分得积分得 已知已知M（0，t1）非奇异，即非奇异，即M-1（0，t1）存在，故由式存在，故由式 得得这表明，在这表明，在M（0，t1）非奇异条件下，总可以根据非奇异条件下，总可以根据0,t1上的输上的输出出y（t）唯一地确定非零初始状态唯一地确定非零初始状态x0。因此，系统为完全可观测。因此，系统为完全可观测。充分性得证。充分性得证。证明证明 充分性：已知充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观非奇异，欲证系统为完全可观测。由式测。由式 可得可得将式将式 左乘左乘 ，然后从，然后从0 0到到 积分得积分得 显然，显然，为状态空间中的不客观状态。为状态空间中的不客观状态。必要性：必要性：系统完全可观测，欲证系统完全可观测，欲证M（0，t1）非奇异。非奇异。采用反证法。反设采用反证法。反设M（0，t1）奇异，假设存在某一非零初始状奇异，假设存在某一非零初始状态态成立，这意味着成立，这意味着这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。2 2）秩判据）秩判据线性定常连续系统线性定常连续系统 完全可观测的充要条件是完全可观测的充要条件是或或式式 和式和式 中的矩阵均为系统可观测性判别阵，中的矩阵均为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。简称可观测性阵。证明证明 从式从式 出发，进一步论证秩判据的充要条件。出发，进一步论证秩判据的充要条件。由式由式 ，利用利用eAt的级数展开式，及凯莱的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理哈密顿定理推论推论2 2可得可得 证明以下从式证明以下从式 出发，进一步论证秩判据的充要条件。出发，进一步论证秩判据的充要条件。由式由式 ，利用利用eAt的级数展开式，及凯莱的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理哈密顿定理推论推论2 2可得可得 由于由于 线性无关，故线性无关，故由由 唯一确定。由唯一确定。由 被下式唯一确定被下式唯一确定得证得证例例2 2.2.2 2.2 判断下列系统的可观测性判断下列系统的可观测性解解故系统不可观测。故系统不可观测。故系统可观测。故系统可观测。3 3）PBH PBH秩判据秩判据 线性定常连续系统线性定常连续系统 完全可观测的充要条件是，对完全可观测的充要条件是，对矩阵矩阵A A的所有特征值的所有特征值 1,2,n，均均有有或等价地表示为或等价地表示为即即(sI A)和和C是右互质的是右互质的4 4）PBH PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统线性定常连续系统 完全可观测的充要条件是，完全可观测的充要条件是，A没有没有与与C的所有行相正交的非零右特征向量的所有行相正交的非零右特征向量,即对即对A A的任一特征值的任一特征值 1,2,n 使同时满足使同时满足的特征向量的特征向量0。矩阵矩阵 之间满足如下关系之间满足如下关系 *对偶性对偶性定义：对连续时间线性时变系统定义：对连续时间线性时变系统 其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统其中其中,状态状态X X为为n n维行向量维行向量,协状态协状态为为n n维行向量维行向量 输入输入u u为为p p维列向量维列向量,输入输入为为q q 维行向量维行向量 输出输出Y Y为为q q维列向量维列向量,输出输出为为p p 维行向量维行向量 结论结论1 :1 :原构系统的状态转移矩阵原构系统的状态转移矩阵 与对偶系统的状态转移与对偶系统的状态转移1/2,25/451/2,25/45结论结论2 2 设设为原构线性系统为原构线性系统,d d为对偶线性系统为对偶线性系统,则有则有 完全能控完全能控 d d 完全能观测完全能观测 完全能观测完全能观测 d d 完全能控完全能控 2/2,26/452/2,26/455 5）约当规范型判据约当规范型判据系统系统 完全可观测的充要条件分两种情况：完全可观测的充要条件分两种情况：矩阵矩阵A的特征值的特征值 1,2,n是两两相异的。由线性变换是两两相异的。由线性变换可将式可将式 变为对角规范型变为对角规范型 矩阵矩阵A A的特征值为的特征值为由线性变换可将式由线性变换可将式 化为约当规范型化为约当规范型式中式中 不包含元素为零的列。不包含元素为零的列。其中其中的第一列所组成的矩阵的第一列所组成的矩阵对对 i=1,2,l 均为列线性无关均为列线性无关例例2.2.32.2.3已知线性定常系统的对角线规范型为已知线性定常系统的对角线规范型为试判定系统的可观测性。试判定系统的可观测性。解解 显然，此规范型中显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统为不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。完全可观测。例例2.2.4 2.2.4 已知系统的约当规范型为已知系统的约当规范型为解解 根据判断法则可定出下列矩阵根据判断法则可定出下列矩阵 它们都是列线性无关的，并且它们都是列线性无关的，并且 的元素不全为零，故系统为的元素不全为零，故系统为完全可观测。完全可观测。