系统的状态空间法.pptx

2、现代控制理论时期（二十世纪、现代控制理论时期（二十世纪5070年代）年代）研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。状态空间法为基础，分析和设计控制系统。3、大系统理论和智能控制理论时期（二十世、大系统理论和智能控制理论时期（二十世纪纪70年代至今）年代至今）二、现代控制理论基础主要内容二、现代控制理论基础主要内容1、线性系统理论、线性系统理论2、系统辨识、系统辨识3、最优控制、最优控制4、最优估计、最优估计5、自适应控制、自适应控制1、线性系统理论、线性系统理论 建立系统的状态方程，系统的响应特性，系建立系统的状态方程，系统的响应特性，系统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状态观测器态观测器2、系统辨识、系统辨识包括结构辨识和参数辨识包括结构辨识和参数辨识3、最优控制、最优控制 通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学模型的方法。模型的方法。在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。4、最优估计、最优估计在通讯工程中，接受到的信号为：在通讯工程中，接受到的信号为：Y（t）=S（t）+（t）有用信号有用信号干扰躁声干扰躁声由由Y（t）求）求S（t）的估计）的估计S（t）5、自适应控制、自适应控制 自适应控制一般分为两类：模型参考自适应自适应控制一般分为两类：模型参考自适应控制，自校正自适应控制。控制，自校正自适应控制。当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，这类控制为自适应控制。这类控制为自适应控制。四、本课程主要内容四、本课程主要内容四、本课程主要内容四、本课程主要内容1、状态空间法、状态空间法2、动态分析、动态分析3、能控性与能观测性、能控性与能观测性三、控制理论的应用三、控制理论的应用航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗4、结构分解与实现、结构分解与实现5、稳定性分析、稳定性分析6、状态反馈、状态反馈7、最优控制、最优控制8、最小值原理、最小值原理五、参考书五、参考书1、现代控制理论基础现代控制理论基础机械工业出版社机械工业出版社 常春馨编常春馨编2、现代控制理论基础现代控制理论基础北京工业大学出版社北京工业大学出版社 谢克明编谢克明编3、现代控制理论现代控制理论机械工业出版社机械工业出版社 刘豹编刘豹编4、现代控制理论基础现代控制理论基础电子工业出版社电子工业出版社 尤昌德编尤昌德编第第1 1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1.1 概述概述1.2 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1.3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1.4 状态方程的线性变换状态方程的线性变换1.5 系统的传递函数阵系统的传递函数阵1.6 离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式1.7 时变系统和非线性系统的状时变系统和非线性系统的状 态空间表达式态空间表达式1.1 概述概述古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。现代控制理论是建立在状态空间法基础上。现代控制理论是建立在状态空间法基础上。1.2 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1 1.2 2.1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念1、系统的状态：系统运动信息的集合，表示系统、系统的状态：系统运动信息的集合，表示系统 过去、现在、将来的运动状况。过去、现在、将来的运动状况。2、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量组。状态变量的选取不唯一。组。状态变量的选取不唯一。1 1.2 2.1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念3、状态矢量：以、状态矢量：以n个状态变量为分量，构成一个个状态变量为分量，构成一个n维矢量。维矢量。X（t）=x1(t)x2(t):xn(t)4、状态空间、状态空间：以：以n个状态变量为坐标轴所构成的空个状态变量为坐标轴所构成的空间，称为间，称为n维状态空间。维状态空间。5、状态方程、状态方程：状态变量的一阶导数与输入变量及：状态变量的一阶导数与输入变量及状态变量的关系式。状态变量的关系式。dx1dt=f1(x1 x2 u1 u2)一阶微分方程一阶微分方程6、输出方程、输出方程：输出变量与输入变量及状态变量的：输出变量与输入变量及状态变量的关系式。关系式。1 1.2 2.1 1 基本概念基本概念基本概念基本概念 代数方程代数方程7、状态空间表达式、状态空间表达式：状态方程和输出方程。：状态方程和输出方程。1 1.2 2.2 2 控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧质质量量阻尼系统，试建立输入的外力阻尼系统，试建立输入的外力u(t)，输出为位移，输出为位移 y(t)的状态空间表达式。的状态空间表达式。fmkuy y1=f1(x1 x2 u1 u2)K：弹性系数：弹性系数f：阻尼系数：阻尼系数1 1.2 2.2 2 控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式fmk解：系统的运动方程：解：系统的运动方程：d2ydt 2m=ufdydtkyd2ydt 2m+fdydt+ky=u系统的状态变量：系统的状态变量：x1=yuy x2=y=x1x2=y系统的状态方程：系统的状态方程：x1=x2系统的输出方程：系统的输出方程：y=x1x2=kmx1fmx21mu+1 1.2 2.2 2 控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式fmkuy矩阵形式：矩阵形式：x1=x2y=x1y=1 0 x1x2x1x2=u1m0 1kmfmx1x2+x1x20简写为：简写为：X=AX+buY=CXx2=kmx1fmx21mu+1 1.2 2.2 2 控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式多输入多输出线性定常系统：多输入多输出线性定常系统：x1x2 :xn=Xu1u2 :ur=Uy1y2 :ym=YX=AX+BUY=CX+DUA=a11a12.a1n a21a22.a2n.an1an2.ann B=b11b12.b1r b21b22.b2r.bn1bn2.bnr1 1.2 2.2 2 控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式控制系统状态空间表达式X=AX+BUY=CX+DUC=c11c12.c1n c21c22.c2n.cm1cm2.cmn B=b11b12.b1r b21b22.b2r.bn1bn2.bnr A=a11a12.a1n a21a22.a2n.an1an2.ann D=d11d12.d1rd21d22.d2r.dm1dm2.dmr 1 1.2 2.3 3 控制系统状态空间的一般表达式控制系统状态空间的一般表达式控制系统状态空间的一般表达式控制系统状态空间的一般表达式X=F（X U t）Y=G（X U t）1 1.2 2.4 4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和线性系统状态空间表达式的模拟结构图和线性系统状态空间表达式的模拟结构图和线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图信号流图信号流图信号流图X=AX+BUY=CX+DU BDCAU(t)+Y(t)DUAXCXX比例器比例器加法器加法器积分器积分器1、结构图、结构图BUX1 1.2 2.4 4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和线性系统状态空间表达式的模拟结构图和线性系统状态空间表达式的模拟结构图和线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图信号流图信号流图信号流图例：线性系统的状态空间表达式为例：线性系统的状态空间表达式为x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy=x1+2x2 试画出它的系统结构图。试画出它的系统结构图。解：这是一个三阶系统，需解：这是一个三阶系统，需3个积分器个积分器例：线性系统的状态方程为例：线性系统的状态方程为x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy=x1+2x2 试画出它的系统结构图。试画出它的系统结构图。解：这是一个三阶系统，需解：这是一个三阶系统，需3个积分器个积分器x1x3x3=x2x2=x18147+2+uyx1x3x3=x2x2=x18147+2+uy2、信号流图、信号流图X=AX+BUY=CX+DUUBAC DYXX将上例中的结构图用信号流图表示将上例中的结构图用信号流图表示x2=x1x3=x2x3x18147+2+uy2、信号流图、信号流图将上例中的结构图用信号流图表示将上例中的结构图用信号流图表示u 2 y1x3x2x1x1114871.3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1 1.3 3.1.1由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式方框图方框图结构图结构图例：试建立系统的状态空间表达式例：试建立系统的状态空间表达式解：将惯性环节变为积分环节解：将惯性环节变为积分环节 k1T1S+1 k2T2S+1k4 k1T1S+1uy+k3 T3S k1 T1 1 S+1 T11 1.3 3.1.1由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式 k1 T1解：将惯性环节变为积分环节解：将惯性环节变为积分环节 k1T1S+1 1 S+1 T1 k1 T1 1 S 1 T1+k1 T1 1 T1+x3x31 1.3 3.1 .1 由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式 k2T2S+1k4 k1T1S+1uy+k3 T3S 1 T1 +x3x3 k1 T1 k4 1 T2 +x2x2 k2 T2 k3 T3 x1x1=y+u1 1.3 3.1 .1 由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式 1 T1 +x3x3 k1 T1 k4 1 T2 +x2x2 k2 T2 k3 T3 x1x1=y+ux1=x2k3 T3x3=x3+（u k4x1）k1 T11 T1x2=x2+x31 T2k2 T2y=x11 1.3 3.1 .1 由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式例：含有零点例：含有零点 kSSZS+Puy+1S+aZ+PS+PSZS+P=1Z+PS+P kSuy+1S+a+1 1.3 3.2 .2 由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式例：由例：由RLC组成的系统如图，组成的系统如图，u为输入变量，为输入变量，y为输出变为输出变 量，试建立它的状态空间表达式。量，试建立它的状态空间表达式。CRLuRuLuCiu+y解：解：u=uR+uL+uC uL=Ldt di u=RCduCdt+LCd2uCdt2+uC设状态变量为：设状态变量为：x1=uC、x2=x1=uCy=1 0 x1x2 x1x2=u1LC0 1 1LCRLx1x2+x1x20i=Cdt duC1 1.3 3.2 .2 由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为达式。设转动惯量为J。设状态变量为：设状态变量为：x1=、x2=BKTB：粘性阻尼系数。：粘性阻尼系数。K：扭转轴的刚性系数。扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。：转动的角度。解：设扭转轴的转动角度解：设扭转轴的转动角度 及其角速度及其角速度 为状态变量。为状态变量。u=T根据牛顿定律：根据牛顿定律：1 1.3 3.2 .2 由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为达式。设转动惯量为J。y=1 0 x1x2 x1x2=u1 J0 1 kJBJx1x2+x1x20 BKTB：粘性阻尼系数。：粘性阻尼系数。K：扭转轴的刚性系数。扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。：转动的角度解：设扭转轴的转动角度解：设扭转轴的转动角度 及其角速度及其角速度 为状态变量。为状态变量。1 1.3 3.3 .3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式1、输入函数不包含导数项时、输入函数不包含导数项时设系统的微分方程：设系统的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=bu变换为：变换为：X=AX+BUY=CX设设y、yy（n1）为系统的状态变量。为系统的状态变量。令：令：x1=yx2=yxn1=y（n2）xn=y（n1）系统状态方程：系统状态方程：x1=x2x2=x3xn1=xnxn=y（n）=a1xn a2xn1 anx1+bu1 1.3 3.3 .3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式1、输入函数不包含导数项时、输入函数不包含导数项时系统状态方程：系统状态方程：x1=x2x2=x3xn1=xnxn=y（n）=a1xn a2xn1 anx1+buy=x1=0 1 0 0 x1x2xnu0 x1x2+x1x20 xn0b0 0 1 0an an1 an2 a1 y=x11 1.3 3.3 .3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式y=10 0 x1x2x1x2xna3a2a1x1x2x3=u0 1 0+x1x2x30060 0 16 11 5y=1 0 0 x1x2x3例：将例：将y+5y+11y+6y=6u变换为状态空间表达式变换为状态空间表达式 2、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时设系统的微分方程：设系统的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=b0u（n）+b1u（n1）+bn1u+bnu设：设：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+b1 u+b2u+b3u 状态空间表达式状态空间表达式x1x2x3=u0 1 0+x1x2x3c1c2c30 0 1a3 a2a1选择待定系数选择待定系数c1、c2、c3使状态方程中不含导数项使状态方程中不含导数项2、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时x1x2x3=u0 1 0+x1x2x3c1c2c30 0 1a3a2a1x1=x2+c1 ux2=x3+c2 ux3=a3 x1 a2 x2 a1 x3+c3 u将上式展开：将上式展开：求求c1、c2、c32、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时令：令：y=x1+c0u （1）x1=x2+c1 ux2=x3+c2 ux3=a3 x1 a2 x2 a1 x3+c3 uy=x1+c0u=x2+c1u+c0u（2）y=x2+c1u+c0u=x3+c2u+c1u+c0u （3）y=x3+c2u+c1u+c0u=a3 x1 a2 x2 a1 x3+c3 u+c2u+c1u+c0u （4）a1（3）+a2（2）+a3（1）+（4）即：即：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+b1 u+b2u+b3u 左式左式=c0u+(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+a2c0)u+(c3+a1c2+a2c1+a3c0)u 2、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时y+a1y+a2y+a3y=b0 u+b1 u+b2u+b3u 左式左式=c0u+(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+a2c0)u+(c3+a1c2+a2c1+a3c0)u 比较系数得：比较系数得：c0=b0c1=b1a1c0c2=b2a1c1 a2c0c3=b3a1c2 a2c1 a3c0对于对于n阶系统：阶系统：cn=bna1cn1a2c n2 aic ni anc02、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时求系统的状态变量求系统的状态变量y=x1+c0u （1）y=x1+c0u=x2+c1u+c0u（2）y=x2+c1u+c0u=x3+c2u+c1u+c0u （3）x1=y c0u （1）x2=y c1u c0u（2）x3=y c2u c1u c0u（3）因为：因为：所以：所以：状态变量是由状态变量是由y、u及它的各价导数组成。及它的各价导数组成。解：解：c0=0a3a2a1例：将例：将y+4y+2y+y=u+u+3u变换为状态空间表达式变换为状态空间表达式 b1b2b3b0=0c1=b1a1c0=140=1c2=b2a1c1 a2c0=1 41=3c3=b3a1c2 a2c1 a3c0=3 4（3）21=13x1x2x3=u0 1 0+x1x2x313130 0 11 2 4y=x1作业：作业：1-1试求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。试求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。k1T1S+1 k2 Suy+1 T2S+1+1 S1-2 将将y+2y+4y+6y=2u变换为状态空间表达式。变换为状态空间表达式。1-3 将将变换为状态空间表达式。变换为状态空间表达式。1-3 试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为达式。设转动惯量为J。BKTB：粘性阻尼系数。：粘性阻尼系数。K：扭转轴的刚性系数。扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。：转动的角度。1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式已知系统的传递函数已知系统的传递函数U(S)Y(S)=G(S)=b0Sn+b1Sn1+bn1 S+bn a0Sn+a1Sn1+an1 S+an G(S)=b1Sn1+b2Sn2+bn1 S+bnSn+a1Sn1+an1 S+an+d=G(S)+d化为真分式：化为真分式：输出与输入之间的直接传递关系输出与输入之间的直接传递关系首先讨论首先讨论G(S)1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式b1Sn1+b2Sn2+bn1 S+bnSn+a1Sn1+an1 S+anG(S)=1、G(S)特征方程的特征方程的n个极点互异个极点互异用部分分式法用部分分式法G(S)=k1SS1+k2SS2+knSSnS1、S2、Sn：特征方程的极点：特征方程的极点k1、k2、kn：待定系数：待定系数ki=Lim(SSi)G(S)SSiLim(SSi)SSik1SS1+k2SS2+knSSn因为因为 ki=1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式设第设第i个状态变量的拉氏变换为个状态变量的拉氏变换为xi(S)=1SSiU(S)(SSi)xi(S)=U(S)Sxi(S)=Sixi(S)+U(S)由拉氏反由拉氏反 变换得状态方程：变换得状态方程：xi(t)=Sixi(t)+ux1(t)=S1x1(t)+ux2(t)=S2x2(t)+uxi(t)=Sixi(t)+uxn(t)=Snxn(t)+u1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式求输出方程：求输出方程：G(S)=k1SS1+k2SS2+knSSn=k1x1(S)+k2x2(S)+knxn(S)y(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t)y(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t)+du计入计入d的影响的影响Y(S)=k1SS1+U(S)+k2SS2U(S)knSSnU(S)1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式矩阵形式：矩阵形式：y(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t)+dux1(t)=S1x1(t)+ux2(t)=S2x2(t)+uxi(t)=Sixi(t)+u=S1 0 0 0 x1x2xnu1x1x2+x1x21xn110 S2 0 00 0 0 Sny=k1k2 knx1x2x1x2xn对角线标准形对角线标准形+du1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式信号流图：信号流图：x1x1k1S1 xnxnknSny(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t)+duxi(t)=Sixi(t)+u x2x2k2S2u111111yd例：已知系统传递函数为：例：已知系统传递函数为：G(S)=2S+1S3+7S2+14S+8试用部分分式法写出状态空间表达式。试用部分分式法写出状态空间表达式。解：由解：由 S3+7S2+14S+8=0求得：求得：S1=1、S2=2、S3=4则则 G(S)=k1S+1+k2S+2+k3S+4k1=Lim(S+1)G(S)=Lim(S+1)S 1S 1 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=1 3k2=Lim(S+2)G(S)=Lim(S+2)S 2S 2 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=3 2k3=Lim(S+4)G(S)=Lim(S+4)S 4S 4 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=7 6x1x2x3=u1 0 0+x1x2x31110 2 00 04y=x1x2x31 3 3 27 6 x1x11 x3x34 x2x22u111111y1 3 3 26 71 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点设系统有设系统有5个特征根：个特征根：S1、S1、S1、S4、S5。G(S)=k11(SS1)3+k12(SS1)2+k5SS5k13(SS1)+k4SS4+Kij=Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S)(SS1)m dSj1 重极点系数：重极点系数：单极点系数：单极点系数：ki=Lim(SSi)G(S)SSim：重极点的个数：重极点的个数1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点x1(S)=1(SS1)3U(S)设状态变量的拉氏变换为设状态变量的拉氏变换为x2(S)=1(SS1)2U(S)x3(S)=1(SS1)U(S)x4(S)=1(SS4)U(S)x5(S)=1(SS5)U(S)则：则：x1(S)=1(SS1)x2(S)x2(S)=1(SS1)x3(S)x3(S)=1(SS1)U(S)1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点x4(S)=1(SS4)U(S)x5(S)=1(SS5)U(S)x1(S)=1(SS1)x2(S)x2(S)=1(SS1)x3(S)x3(S)=1SS1)U(S)整理后得：整理后得：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S)Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S)Sx3(S)=S1x3(S)+U(S)Sx4(S)=S4x4(S)+U(S)Sx5(S)=S5x5(S)+U(S)1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点取拉氏反取拉氏反 变换，得系统状态方程：变换，得系统状态方程：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S)Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S)Sx3(S)=S1x3(S)+U(S)Sx4(S)=S4x4(S)+U(S)Sx5(S)=S5x5(S)+U(S)x1(t)=S1x1(t)+x2(t)x4(t)=S4x4(t)+ux2(t)=S1x2(t)+x3(t)x3(t)=S1x3(t)+ux5(t)=S5x5(t)+u1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点x1(t)=S1x1(t)+x2(t)x4(t)=S4x4(t)+ux2(t)=S1x2(t)+x3(t)x3(t)=S1x3(t)+ux5(t)=S5x5(t)+u=S1 1 0 0 0 x1x2x3x4x5u+001110 S1 1 0 00 0 0 0 S50 0 S1 0 00 0 0 S4 0 x1x2x3x4x5系统状态方程：系统状态方程：约当标准形约当标准形2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点Y(S)=+k11(SS1)3U(S)+k5SS5U(S)k13(SS1)U(S)+k12(SS1)2U(S)+k4SS4U(S)=k11x1(S)+k12x2(S)+k13x3(S)+k4x4(S)+k5x5(S)x2(S)=1(SS1)2U(S)x3(S)=1(SS1)U(S)x4(S)=1(SS4)U(S)x5(S)=1(SS5)U(S)x1(S)=1(SS1)3U(S)求输出方程：求输出方程：1 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点Y(S)=k11x1(S)+k12x2(S)+k13x3(S)+k4x4(S)+k5x5(S)y(t)=k11x1(t)+k12x2(t)+k13x3(t)+k4x4(t)+k5x5(t)系统输出方程：系统输出方程：y=k11 k12 k13 k4 k5x1x2x3x4x51 1.3 3.4 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式y(t)=k11x1(t)+k12x2(t)+k13x2(t)+k4x4(t)+k5x5(t)x1(t)=S1x1(t)+x2(t)x4(t)=S4x4(t)+ux2(t)=S1x2(t)+x3(t)x3(t)=S1x3(t)+ux5(t)=S5x5(t)+u信号流图：信号流图：x5x5S5 x4x4S4uk4111 x3x3S11k5y x2x2S11 x1x1S1k11k12k13例：已知系统传递函数为：例：已知系统传递函数为：G(S)=4S2+17S+16S3+7S2+16S12试用部分分式法写出状态空间表达式。试用部分分式法写出状态空间表达式。解：由解：由 S3+7S2+16S+12=0求得：求得：S1=2、S2=2、S3=3则则 G(S)=k11(S+2)2+k12S+2+k3S+3(S+2)2(S+3)=0Kij=Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S)(SS1)m dSj1 G(S)=k11(S+2)2+k12S+2+k3S+3S2K11=Lim 1(11)!G(S)(S+2)2 Kij=Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S)(SS1)m dSj1 K12=Lim 1(21)!S 2d21 G(S)(S+2)2 dS21 1(21)!S 2d 4S2+17S+16dS (S+3)K12=Lim=3=LimS2(S+2)2(S+3)4S2+17S+16(S+2)2=2k3=Lim(S+3)G(S)S3=Lim 4S2+17S+16 (S+2)2 S3=1x1x2x3=u2 1 0+x1x2x30110 2 00 03(S+2)2(S+3)4S2+17S+16G(S)=y=x1x2x32 3 1信号流图或结构图？信号流图或结构图？作业作业1-4 已知系统传递函数为：已知系统传递函数为：S2+S+1S3+6S2+11S+6试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的模拟结构图或信号流图。模拟结构图或信号流图。1.3.1 1.3.1 由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式由系统方框图建立状态空间表达式1.3.2 1.3.2 由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式由系统的工作机理建立状态空间表达式1.3.3 1.3.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式1.3.4 1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式1.4 状态方程的线性变换状态方程的线性变换 特征矢量线性变换法，把状态方程化为对角线标准形特征矢量线性变换法，把状态方程化为对角线标准形或约当标准形。或约当标准形。1 1.4 4.1 .1 系统状态的线性变换系统状态的线性变换系统状态的线性变换系统状态的线性变换设：设：X=x1 x2 x3 xnTX=x1 x2 x3 xnTX=x1 x2 x3 xnT它们之间的线性变换：它们之间的线性变换：X=P1XX=PXP：nn非奇异变换阵非奇异变换阵已知线性系统为：已知线性系统为：X=AX+BUY=CX+DUX=PX令：令：X=PX代入状态方程代入状态方程Y=CPX+DUPXAPX+BUX=P1APX+P1BUY=CPX+DU1 1.4 4.1 .1 系统状态的线性变换系统状态的线性变换系统状态的线性变换系统状态的线性变换X=P1APX+P1BUY=CPX+DUPX=APX+BUY=CPX+DUY=CX+DUX=AX+BU 式中式中A=P1AP B=P1B C=CP D=D1 1.4 4.2 .2 系统的特征值系统的特征值系统的特征值系统的特征值1、特征值及特征矢量、特征值及特征矢量AP=PA的特征值的特征值 P AP=0(I A)P=0有非零解的必要条件：有非零解的必要条件：|I A|=0A的特征方程的特征方程1 1.4 4.2 .2 系统的特征值系统的特征值系统的特征值系统的特征值|I A|=n+a1 n1+a n1 +a n求得求得A的特征值：的特征值：1、2、n Api=ipi对应于对应于 i的一个特征矢量的一个特征矢量由全部由全部 所对应的特征矢量：所对应的特征矢量：P=p1 p2 pi pn=p11p12.p1n p21p22.P2n.Pn1Pn2.pnn 线性变换阵线性变换阵2、特征值不变性、特征值不变性特征多项式特征多项式经线性变换后，其特征值不变。经线性变换后，其特征值不变。|I A|2、特征值不变性、特征值不变性X=AX+BU对于对于X=AX+BU对于对于|I A|A=P1AP B=P1B|I A|=|I A|证明：证明：|I AI P1AP|=|P1P P1AP|P1(I A)P|=|P1|I A|P|=|P1|P|I A|所以：所以：=1 1.4 4.3 .3 化状态方程为对角线标准形化状态方程为对角线标准形化状态方程为对角线标准形化状态方程为对角线标准形设设X=AX+BU，若，若A的特征值的特征值 1、2、n互异，互异，则必存在非奇异变换阵则必存在非奇异变换阵P，使其进行，使其进行X=PX的变换后，其的变换后，其状态方程状态方程X=AX+BU将为对角线标准形，即将为对角线标准形，即 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=且且P=p1 p2 pi pn=p11p12.p1n p21p22.P2n.Pn1Pn2.pnn A=P1APB=P1BC=CPD=DX=P1X设：设：A的特征值：的特征值：1、2、n 特征矢量：特征矢量：p1 p2 pi pn证明证明A=P1AP 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=证明：证明：X=P1APX+P1BUX=AX+BU若若Pi是对应于是对应于 i的一个特征矢量的一个特征矢量则必满足则必满足(iI A)pi=0Ap2=2p2Api=ipiAp1=1p1证明：证明：Ap2=2p2Api=ipiAp1=1p1Api=ipiApn=npn写成矩阵形式：写成矩阵形式：Ap1 Ap2 Api Apn=1p1 2p2 ipi npn Ap1 p2 pi pn=1p1 2p2 ipi npn AP=p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n1 1.4 4.3 .3 化状态方程为对角线标准形化状态方程为对角线标准形化状态方程为对角线标准形化状态方程为对角线标准形 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n=P证明：证明：AP=p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=P1AP 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n=证毕证毕例：试将状态方程例：试将状态方程变换为对角线标准形。变换为对角线标准形。x1x2x3=u0 1 1+x1x2x3001 6 11 6 6 11 5 解：解：(1)求系统特征值求系统特征值|I A|=0 1 1 6 11 6 6 11 5 0 0 0 0 0 0 =1 1 6 +11 6 6 11 5|I A|=1 1 6 +11 6 6 11 5=3+6 2+11 +6=0(+1)(+2)(+3)=0(2)求特征矢量求特征矢量对应于对应于 1=1 的特征矢量为的特征矢量为p1，Ap1=1p10 1 1 6 11 6 6 11 5p11p21p31=p11 p21 p31p21p31=p11 6p11 11 p21+6p31=p21 6p11 11 p21+5p31=p31p21p31=p11 6p11 10 p21+6p31=0 6p11 11 p21+6p31=0