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概率论概率论 第一、二章第一、二章 习题课习题课 主要内容主要内容例题选讲例题选讲概率论概率论 一、概率的定义一、概率的定义概率论概率论 二、概率的性质二、概率的性质概率论概率论 概率论概率论 称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典概型古典概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.三、古典概型三、古典概型古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式:概率论概率论 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 1.条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.四、条件概率四、条件概率概率论概率论 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 2.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:P(B)0概率论概率论 若若 P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)五、五、乘法公式乘法公式若若 P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)概率论概率论 六、六、全概率公式全概率公式概率论概率论 七、七、贝叶斯公式贝叶斯公式为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分,B 为为 S 中的任一事件中的任一事件,且且P(B)0,则有则有概率论概率论 例例1 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试分别表示甲、乙、丙命中目标，试用用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：概率论概率论 例例2:2:有三个子女的家庭有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概设每个孩子是男是女的概率相等率相等,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少?N N(S S)=)=HHHHHH,HHTHHT,HTHHTH,THHTHH,HTTHTT,TTHTTH,THTTHT,TTTTTT N N(A A)=)=HHHHHH,HHTHHT,HTHHTH,THHTHH,HTTHTT,TTHTTH,THTTHT 解解:设设A A表示表示“至少有一个男孩至少有一个男孩”,以以H H 表示某个孩子表示某个孩子是男孩是男孩 ,T T 表示某个孩子是女孩表示某个孩子是女孩概率论概率论 例例3 3（摸球问题）（摸球问题）设合中设合中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现个红球，现从合中任从合中任抽抽2 2个个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。解解:设设A A表示表示“取到一红一白取到一红一白”一般地，设合中有一般地，设合中有N N个球，其中有个球，其中有M M个白球，现从中任个白球，现从中任抽抽n n个个球，则这球，则这n n个个球中恰有球中恰有k k个白球的概率是个白球的概率是概率论概率论 例例4 4（分球问题）（分球问题）将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，个盒子中去，问：（问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？（）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）空一）空一盒的概率是多少？盒的概率是多少？解解 设设 A:A:每盒恰有一球每盒恰有一球,B:,B:空一盒空一盒概率论概率论 一般地，把一般地，把 n 个个球随机地分配到球随机地分配到 m 个盒子中去个盒子中去(n m)，则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：概率论概率论 例例5 5（分组问题）（分组问题）3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：（组，求：（1 1）每组有一名运动）每组有一名运动员的概率；（员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解 设设A:A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B:3;B:3名运动员集中在一组名运动员集中在一组概率论概率论 一般地，把一般地，把n n个个球随机地分成球随机地分成 m 组组(n m),),要求第要求第 i 组恰有组恰有n i个球个球(i=1,=1,m)，共有分法：，共有分法：概率论概率论 例例6 6（随机取数问题）（随机取数问题）从从1 1到到200200这这200200个自然数中任个自然数中任取一个；取一个；(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求求取到的数能被取到的数能被8 8整除的概率；整除的概率；(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率.解:N(S)=200,N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25概率论概率论 例例7 7 某某市市有有甲甲,乙乙,丙丙三三种种报报纸纸,订订每每种种报报纸纸的的人人数数分分别别占占全全体体市市民民人人数数的的30%,30%,其其中中有有10%10%的的人人同同时时定定甲甲,乙乙两两种种报报纸纸.没没有有人人同同时时订订甲甲乙乙或或乙乙丙丙报报纸纸.求求从该市任选一人从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率他至少订有一种报纸的概率.解解 设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报概率论概率论 例例8 8 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解 设设 A取到的数能被取到的数能被2 2整除整除;取到的数能被取到的数能被3 3整除整除.概率论概率论 故故概率论概率论 例例9 9 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只，个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球同的球，若从合中连续取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取得白次取得白球、第球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解解 设设Ai 为第为第 i 次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则概率论概率论 例例10 10 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。试求市场上该品牌产品的次品率。概率论概率论 概率论概率论 例例11 11 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯,每箱每箱2020只只,其中每箱含其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8,0.1,0.10.8,0.1,0.1，某顾客选，某顾客选中一箱，从中任选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买下只检查，结果都是好的，便买下了这一箱了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解 设设A:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查,结果都是好的结果都是好的.B0 0,B1 1,B2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品概率论概率论 已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由由Bayes 公式公式:概率论概率论 例例12 12 在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用如图，如图，1 1、2 2、3 3、4 4、5 5表示继电器触点表示继电器触点,假设每个触假设每个触点闭合的概率为点闭合的概率为 p,且各继电器接点闭合与否相互且各继电器接点闭合与否相互独立，求独立，求 L 至至 R 是通路的概率。是通路的概率。概率论概率论 设设 A 表示表示“L 至至 R 为通路为通路”,Ai 表示表示“第第 i 个继电器通个继电器通”,i =1,2,5.=1,2,5.概率论概率论 由全概率公式由全概率公式概率论概率论 30 练习练习一一.判断对错判断对错1.1.某种疾病的发病率为某种疾病的发病率为1%1%，则每，则每100100人必有一人发病人必有一人发病2.2.A A，B B为两事件，则为两事件，则A A B-A=BB-A=B3.“A3.“A，B B都发生都发生”的对立事件是的对立事件是“A A，B B都不发生都不发生”4.P(A)4.P(A)0,P(B)0,P(B)0,0,若若A A，B B互斥，则互斥，则A A，B B不独立不独立.5.5.若若A=A=，则，则A A与任何事件即互斥又相互独立与任何事件即互斥又相互独立.6.6.假如每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为假如每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为p p，则，则由由n n个人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率个人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为为np.np.概率论概率论 31二二.填空填空3.3.已知已知A A与与B B相互独立，且互不相容相互独立，且互不相容min(P(A),P(B)=min(P(A),P(B)=1.已知已知P(A)0.7，P(A-B)0.3，则，则2.2.设两个独立事件设两个独立事件A A和和B B都不发生的概率为都不发生的概率为1/9,A1/9,A发发生而生而B B不发生的概率与不发生的概率与B B发生而发生而A A不发生的概率相等不发生的概率相等,则则P(A)=P(A)=.4.4.设设A,BA,B是两个随机事件是两个随机事件,且且 ,则必有则必有 概率论概率论 32三、三、加工某一零件共需经过加工某一零件共需经过4 4道工序，设第一、二、道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是三、四道工序的次品率分别是2%2%，3%3%，5%5%，3%3%，假，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率品率.四、某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡四、某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1 1：2 2：1 1，出售灯泡时需试用出售灯泡时需试用.一、二、三级品在试用时被烧一、二、三级品在试用时被烧毁的概分别为毁的概分别为0.1,0.2,0.3.0.1,0.2,0.3.一顾客买一灯泡试一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率用正常，求该灯泡为三级品的概率.概率论概率论 33六、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击六、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为中的概率分别为0.5,0.6,0.7.0.5,0.6,0.7.飞机被一人击中而被飞机被一人击中而被击落的概率为击落的概率为0.3,0.3,被两人击中而被击落的概率为被两人击中而被击落的概率为0.6,0.6,若被三人击中，则必被击落若被三人击中，则必被击落.求飞机被击落的求飞机被击落的概率概率.五、有两箱同类的零件五、有两箱同类的零件,第一箱装第一箱装5050只只,其中其中5 5只次只次品品;第二箱装第二箱装3030只只,其中其中5 5只次品只次品.今从两箱中任取今从两箱中任取一箱一箱,然后从该箱中任取两次然后从该箱中任取两次,每次取一件每次取一件,做不放做不放回抽样回抽样.试求在第一次取到一件次品的条件下试求在第一次取到一件次品的条件下,第第二次仍取到次品的概率二次仍取到次品的概率.