高等数学A曲线的凹凸拐点渐近线描图模板.pptx

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第2 2章章 一元函数微分学一元函数微分学高等数学高等数学A A2.3 2.3 导数的应用导数的应用2.3.4 曲线的凹性及其判定法曲线的凹性及其判定法2.3.5 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法 2.3.6 曲线的渐近线曲线的渐近线2.3.7 函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法 2.3 2.3 导数的应用导数的应用2.3.4 2.3.4 曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹性及其判定法曲线的凹性及其判定法曲线的凹性及其判定法曲线的凹性及其判定法曲线的凹凸性习例曲线的凹凸性习例曲线的凹凸性习例曲线的凹凸性习例1-21-22.3.5 2.3.5 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法 曲线的拐点及判别法曲线的拐点及判别法曲线的拐点及判别法曲线的拐点及判别法曲线的拐点判别习例曲线的拐点判别习例曲线的拐点判别习例曲线的拐点判别习例3-53-52.3.6 2.3.6 曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线概念曲线的渐近线概念曲线的渐近线概念曲线的渐近线概念曲线的渐近线习例曲线的渐近线习例曲线的渐近线习例曲线的渐近线习例6 62.3.7 2.3.7 函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘方法函数图形的描绘习例函数图形的描绘习例函数图形的描绘习例函数图形的描绘习例7-107-10课堂思考与练习课堂思考与练习导导数数的的应应用用图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上方所张弦的上方图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方所张弦的下方即即若函数为凸函数若函数为凸函数,则有则有类似地类似地,若函数为凹函数若函数为凹函数,则有则有1.定义定义:设设 f(x)在在 I内连续内连续,则则 f(x)为区间为区间 I上的凸函数上的凸函数.则则 f(x)为区间为区间 I上的凹函数上的凹函数.如图所示如图所示凹弧的曲线位于各点处切线的上方凹弧的曲线位于各点处切线的上方凸弧的曲线位于各点处切线的下方凸弧的曲线位于各点处切线的下方2.判别法判别法 定理定理1.定理定理2.设设 f(x)在在(a,b)内有二阶导数内有二阶导数,则则 f(x)在在(a,b)内的图形是凸的内的图形是凸的.则则 f(x)在在(a,b)内的图形是凹的内的图形是凹的.例例1.判定下列曲线的凹凸性判定下列曲线的凹凸性例例2.曲线的凹凸性习例曲线的凹凸性习例曲线的凹凸性习例曲线的凹凸性习例例例1.判定下列曲线的凹凸性判定下列曲线的凹凸性解解:列表讨论如下列表讨论如下:0例例2.证明证明:定义定义:连续曲线连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为拐点上凹弧与凸弧的分界点称为拐点.定理定理3(拐点存在的必要条件拐点存在的必要条件)注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.注意注意:或者或者例例3.曲线的拐点判别习例曲线的拐点判别习例曲线的拐点判别习例曲线的拐点判别习例例例4.例例5.解解:拐点拐点拐点拐点例例4.解解:不存在不存在拐点拐点例例5.解解:1.水平渐近线水平渐近线 则则 y=A 是曲线是曲线 y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线.2.铅直渐近线铅直渐近线 则则 x=a 是曲线是曲线 y=f(x)的铅直渐近线的铅直渐近线.3.斜渐近线斜渐近线 则则 y=kx+b 是曲线是曲线 y=f(x)的斜渐近线的斜渐近线.由此可得由此可得例例6.解解:曲线的渐近线习例曲线的渐近线习例曲线的渐近线习例曲线的渐近线习例利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形,一般步骤如下一般步骤如下:(1)确定函数确定函数 f(x)的定义域的定义域.(5)求出极值求出极值,拐点与坐标轴的交点拐点与坐标轴的交点.(6)求出渐近线求出渐近线.(7)描图描图.函数图形的描绘习例函数图形的描绘习例函数图形的描绘习例函数图形的描绘习例例例7.例例8.例例9.例例10.例例7.解解:(3)列表讨论如下列表讨论如下:(6)描图如下描图如下:例例8.解解:(3)列表讨论如下列表讨论如下:不存在不存在不存在不存在(6)描图如下描图如下:函数图形的描绘综合运用函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数性态的研究,是导数应是导数应用的综合考察用的综合考察.解解:定义域为定义域为(2)求关键点求关键点例例9.(3)判别曲线形态判别曲线形态(极大极大)(极小极小)(4)求渐近线求渐近线为铅直渐近线为铅直渐近线无无定定义义又因又因即即(5)求特殊点求特殊点为斜渐近线为斜渐近线(6)(6)绘图绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线斜渐近线铅直渐近线铅直渐近线特殊点特殊点无无定定义义解解:(1)定义域为定义域为图形对称于图形对称于 y 轴轴.(2)求关键点求关键点(3)判别曲线形态判别曲线形态例例10.(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线为水平渐近线(5)作图作图(4)求渐近线求渐近线思考题：思考题：习题习题2.3 第第1题（题（1）到（）到（2）思考题参考答案思考题参考答案课堂练习：课堂练习：习题习题2.3 第第24题到第题到第27题题练习参考答案练习参考答案