1、上页下页铃结束返回首页解解所求体积为所求体积为于是于是上页下页铃结束返回首页 曲面的面积曲面的面积 设曲面S的方程zf(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数,则曲面S的面积为dyxfyxfSyxD),(),(122+或dxdyyzxzSD22)()(1+上页下页铃结束返回首页设光滑曲面则面积 S 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d S 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则上页下页铃结束返回首页故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 则有上页下页铃结束返回首页例例 2 求圆柱面 被圆柱面所割部分的面积所割部分的面积.解解 由对称性知，所求曲面面积是位于
2、第一挂限中的由对称性知，所求曲面面积是位于第一挂限中的 曲面曲面 的面积的的面积的8倍倍.于是所求曲面面积为于是所求曲面面积为上页下页铃结束返回首页利用曲面的参数方程求曲面的面积利用曲面的参数方程求曲面的面积若若曲面曲面S 由由参数方程参数方程给出，其中给出，其中D是一个平面有界闭区域是一个平面有界闭区域,又又x(u,v),y(u,v),z(u,v)在在D上具有连续的一阶偏导数，且上具有连续的一阶偏导数，且不全为零，不全为零，则曲面则曲面S 的面积的面积其中其中上页下页铃结束返回首页例例 3 求螺旋曲面面积面积.解解 由已知条件得2.重积分的物理应用重积分的物理应用(1)质量质量平面薄片的质量
3、平面薄片的质量是薄片是薄片 在在 处的面密度处的面密度.空间物体空间物体 的质量的质量是物体是物体 在在 处的体密度处的体密度.分析P点对y轴的静矩为dMyx(x y)d 设质心的横坐标为x 薄片的质量为M 则xMMy 薄片对y轴的静矩为 d P(x,y)设设一一平平面面薄薄片片占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域D 其其面面密密度度(x y)是闭区域是闭区域D上的连续函数上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标则该平面薄片的质心坐标为为(2)质心质心分析P点对x轴的静矩为dMxy(x y)d 设质心的横坐标为y 薄片的质量为M 则yMMx 薄片对x轴的静矩为 d P(x,y)设设一一平平面面薄
4、薄片片占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域D 其其面面密密度度(x y)是闭区域是闭区域D上的连续函数上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标则该平面薄片的质心坐标为为(2)质心质心 设设一一平平面面薄薄片片占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域D 其其面面密密度度(x y)是闭区域是闭区域D上的连续函数上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标则该平面薄片的质心坐标为为 讨论 设设一一平平面面薄薄片片占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域D 其其面面密密度度是是常数常数 如何求该平面薄片的质心如何求该平面薄片的质心(称为形心称为形心)？提示(2)质心质心 类类似似地地 设设一一物物体体占占有有空空间
5、间闭闭区区域域 其其密密度度(x y z)是闭区域是闭区域 上的连续函数上的连续函数 则该则该物体的质心坐标为物体的质心坐标为 设设一一平平面面薄薄片片占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域D 其其面面密密度度(x y)是闭区域是闭区域D上的连续函数上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标则该平面薄片的质心坐标为为(2)力矩与质心力矩与质心转动惯量元素 在在点点P(x y)处取一直径很小的小薄处取一直径很小的小薄片片 其面积其面积(面积元素面积元素)为为d 其其质量认为质量认为集中于点集中于点P 其值近似为其值近似为(x y)d P点对点对x轴和对轴和对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dIx y2
6、(x y)d dIy x2(x y)d d P(x,y)设设一一平平面面薄薄片片占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域D 其其面面密密度度(x y)是是D上的连续函数上的连续函数 则该平面薄片对则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(3)物体的转动惯量物体的转动惯量 类类似似地地 设设一一物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 其其密密度度(x y z)是是 上的连续函数上的连续函数 则该则该物体对于物体对于x、y、z轴的转动惯量为轴的转动惯量为 设设一一平平面面薄薄片片占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域D 其其面面密密度度(x y)是是D上的连续函数上的连续函数 则该平面薄片对则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(3)物体的转动惯量物体的转动惯量上页下页铃结束返回首页例例4 求由两圆周求由两圆周所围的均匀薄片的质心所围的均匀薄片的质心.解解 因为闭区域D对称于y轴,所以质心 必位于 y 轴上,于是r=2 asin r=4a sin由公式其中其中S的面积为的面积为所求重心坐标为所求重心坐标为上页下页铃结束返回首页例例5 求由平面求由平面及及x=0,y=0,z=0所围之均匀物体对三个坐标面的所围之均匀物体对三个坐标面的转动惯量转动惯量.解解物体所占的空间闭区域物体所占的空间闭区域 如图所示如图所示.由对称性得由对称性得
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