重积分直角坐标系下三重积分的计算.pptx

11 定定义义 设设f(x,y,z)是是空空间间有有界界闭闭区区域域 上上的的有有界函数。将界函数。将任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 v1,v2,vn,其中其中 vi表示第表示第i个小闭区域，也表示它的体积个小闭区域，也表示它的体积。在在每每个个 vi上上任任取取一一点点(i,i,i)，作作乘乘积积 f(i,i,i)vi(i=1,2,n)，2其中其中dv叫做体积元素。叫做体积元素。在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果用用平平行行于于坐坐标标面面的的平平面面来来划划分分，那那末末除除了了包包含含 的的边边界界点点的的一一些些不不规规则则小小闭闭区区域域外外，得得到到的的小小闭闭区区域域 vi为为长方体。长方体。设设长长方方体体小小闭闭区区域域 vi的的边边长长为为 xj,yk,zl，则则 vi=xj yk zl。在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素：dv=dxdydz32 2 直角坐标系下的三重积分的计算法直角坐标系下的三重积分的计算法基本方法：化三重积分为三次单积分基本方法：化三重积分为三次单积分 dv=dxdydz(1)、为为母母线线平平行行于于z 轴轴的柱体时的柱体时 假假设设平平行行于于z轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域 内内部部的的直直线线与与闭闭区区域域 的的边边界界曲曲面面S相相交交不多于两点。不多于两点。一、投影法一、投影法4 先先将将x，y看看作作定定值值，将将f(x,y,z)只只看看作作z的的函函数数，在在区区间间z1(x,y),z2(x,y)上上对对z积分。积分。然后计算然后计算F(x,y)在闭区域在闭区域D上上的二重积分的二重积分 积积分分的的结结果果是是x,y的的函函数数，记为记为F(x,y)，即即5 若若 在在xoy平平面面上上的的投投影影区区域记为域记为Dxy，则有则有投影区域投影区域Dxy用不等式表示用不等式表示:1(x)y 2(x)，a x b 则则将将二二重重积积分分化化为为二二次次积积分分，于是得到三重积分的计算公式：于是得到三重积分的计算公式：6 公式公式(2)(2)把三重积分化为先对把三重积分化为先对z、次对次对y、最最后对后对x的三次积分。的三次积分。上式的数学方法概括为：上式的数学方法概括为：“先单后重法先单后重法”，或，或 “投影法投影法”7xyo1解解xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)x+2y=1Dxy8(2)、为母线平行为母线平行y轴或轴或 x 轴的柱体时轴的柱体时9zxoRxyzoHR10zxoRxyzoHR11xyzozyo112二、奇偶函数在对称区域上的积分性质二、奇偶函数在对称区域上的积分性质131415xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)轮换对称性轮换对称性16xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)xyo1x+y=1Dxy17Hyxzo18yxzo19 三、切片法三、切片法又叫又叫“先重后单法先重后单法”设设区区域域 夹夹在在平平面面z=c1，z=c2(c1 c2)之间之间zyxo 用用竖竖坐坐标标为为z(c1 z c2)的的平平面面截截 所所得得截截面面为为Dz或或D(z)，即即20zyxo特别当特别当f(x,y,z)只是只是 z 的函数的函数：f(x,y,z)=(z),f(x,y,z)在在Dz上对上对x、y的二重的二重积分简单，积分简单，Dz简单（圆、椭圆、长方形等）简单（圆、椭圆、长方形等）上式的适用范围：上式的适用范围：21解解D0Dzzxyzaboc22D0DzzxyzabocDz是椭圆域，较简单是椭圆域，较简单 f(x,y,z)=z2只是只是 z 的函数的函数用用 “切片法切片法”较方便较方便23D0Dyzxyabocy24xyzo1用用“先单后重法先单后重法”25用用先重后单先重后单法。法。xyzo126解解y4sinx关于关于x是奇函数是奇函数xyzo 关于关于yoz平面对称平面对称，27用用先重后单先重后单法。法。xyzo28用用“先单后重先单后重”法法xyxyzo29 柱面坐标系下的三重积分的计算法柱面坐标系下的三重积分的计算法 设设M(x,y,z z)为空间内一点为空间内一点一、柱面坐标一、柱面坐标 并设点并设点M(x,y,z z)在在xoy面上的面上的投影投影P的极坐标为的极坐标为(r,r,0),0)。这样的三个数这样的三个数r r,z z 就就叫做点叫做点M的的柱面坐标柱面坐标柱面坐标柱面坐标。xyzorzxyM(x,y,z)300 0 r r+，0 0 2 2，z z +xyzorzxyM(x,y,z)三组坐标面分别为三组坐标面分别为r 常数常数，即以即以z 轴为轴的圆柱面；轴为轴的圆柱面；常数，即过常数，即过z 轴的半平面；轴的半平面；z常数，即与常数，即与xoy面平行的平面；面平行的平面；规定规定r、z的变化范围为的变化范围为：31点点M的直角坐标与柱面的直角坐标与柱面坐标的关系为坐标的关系为：xyzorzxyM(x,y,z)柱柱面面坐坐标标系系中中的的体体积积元素元素drdzxyzod rd r32二、柱面坐标中三重积分的形式二、柱面坐标中三重积分的形式33yxzo1a34o1xy3536柱面坐标变换柱面坐标变换37截面法截面法38解法三解法三投影法投影法再用极坐标变换再用极坐标变换3940何时选用柱面坐标计算三重积分？何时选用柱面坐标计算三重积分？4142434445