1、0/37定义定义定义定义 设设V1，V2为线性空间，若为线性空间，若 V1V2的映射的映射T 满足：对任意的满足：对任意的 ，有，有 则称则称T 为为 V1V2的的线性变换线性变换.1/37例例例例 11 在线性空间在线性空间Pn(t)中定义变换中定义变换则则 T 是是Pn(t)的线性变换的线性变换.？Pn-1(t)给定给定 ，则有则有由矩阵的运算法则可知由矩阵的运算法则可知 A 是是 的线性变换的线性变换.例例例例 222/37也线性相关也线性相关.若若 线性相关，则线性相关，则问问是否也线性无关？是否也线性无关？若若 线性无关，问线性无关，问3/37设设 是是Vn的一个的一个基基 是是Vm
2、的一个基的一个基T 是是VnVm 的线性变换的线性变换称称 A 为为T 在基偶在基偶 ,下的下的矩阵矩阵.T =T1,T2,Tn A像的坐标像的坐标4/37例例例例 33 设设 的线性变换的线性变换T 定义为：定义为：试求试求T在基在基 下的矩阵下的矩阵.注：若注：若T 是是V 到自身的变换，则基偶可取为到自身的变换，则基偶可取为,此时称此时称T在基偶下的矩阵为在基偶下的矩阵为 T在基下的矩阵在基下的矩阵.5/37设设 是是Vn的一个的一个基基 是是Vm的一个基的一个基对对VnVm 的任一线性变换的任一线性变换T，存在矩阵，存在矩阵A，使得，使得T =A对任意的对任意的 Vn，设，设 在基在基
3、Vn下的坐标为下的坐标为x，则有，则有T=T(x)=(T )x=Ax即像即像T 在基在基Vm下的坐标为下的坐标为Ax.可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究.6/37则有则有 null T dim(T)=dim(A)=n rankArankT dim(T)=dim(A)=rankA称称nullT 为为 T 的的零度零度，rankA 为为 T 的的秩秩，且有，且有类似地定义类似地定义(T)=Vn|T=O (T)=Vm|=T，Vn 称称(T)为为 T 的的零空间零空间(核核)称
4、称(T)为为 T 的的值空间值空间(值域值域)7/37设设,是是Vn 的两个基，的两个基，,是是Vm的两个基的两个基.在基偶在基偶 ,下有下有 T=A问问矩阵矩阵A与与B有什么关系？有什么关系？在基偶在基偶 ,下有下有 T =B8/37设设,是是Vn 的两个基，的两个基，,是是Vm的两个基的两个基.在基偶在基偶 ,下有下有 T=A在基偶在基偶 ,下有下有 T =B设基变换渡矩阵分别为设基变换渡矩阵分别为 P，Q ，即，即线性变换在不同基偶下的矩阵是相互线性变换在不同基偶下的矩阵是相互等价等价的的.=P，=Q9/37设设T 是是Vn 到自身的线性变换，到自身的线性变换，,是是Vn 的两的两个基个
5、基.在基在基 下有下有 T=A问问矩阵矩阵A与与B有什么关系？有什么关系？在基偶在基偶 下有下有 T =B10/37设设T 是是Vn 到自身的线性变换，到自身的线性变换，,是是Vn 的两的两个基个基.在基在基 下有下有 T=A在基偶在基偶 下有下有 T =B设基变换渡矩阵设基变换渡矩阵 P，即，即 =P线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是相似相似相似相似的的的的11/37即即即即 与与与与 等价等价等价等价线性变换线性变换即即即即 与与与与 相似相似相似相似到自身
6、线性变换到自身线性变换从现在开始主要研究从现在开始主要研究从现在开始主要研究从现在开始主要研究 的线性变换。的线性变换。的线性变换。的线性变换。12/37设设T 是是Vn 到自身的线性变换到自身的线性变换.则则 T 在基在基 =P 下的矩阵为下的矩阵为问题问题 怎样怎样求基求基 ，使得，使得T 在在 下的矩阵下的矩阵有较简单的形式？有较简单的形式？分析分析：任取任取V 的一个基的一个基 ，且，且T =A.若将方阵若将方阵 A 相似化简为相似化简为 B ，即，即考虑两种简单形式的矩阵：考虑两种简单形式的矩阵：分块对角阵分块对角阵 对角矩阵对角矩阵？13/37定义定义定义定义 定义定义 设设 ，是是 的子空间，若的子空间，若 有有 ，则称则称 是是 的不变子空间，记为的不变子空间，记为 例例 ，记，记 的核与值域分别为的核与值域分别为则则 均是均是 的不变子空间。的不变子空间。14/3715/3716/3717/3718/3719/3720/3721/3722/3723/3724/3725/3726/3727/3728/3729/3730/3731/3732/3733/37
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