1、第三节第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数反函数、复合函数、隐函数的导数一一.反函数的导数反函数的导数设函数设函数 y=f(x)在点在点x处有不等于零处有不等于零的导数的导数并且其反函数并且其反函数在相应在相应点处连续点处连续,则则存在存在,并且并且或或定理定理3.5从而从而因因故故设设证证例例1 求指数函数求指数函数的导数的导数.解解的反函数为的反函数为特别地特别地例例2 求求的导数的导数.解解的反函数为的反函数为例例3 求求的导数的导数.解解基本求导公式基本求导公式二二.复合函数的导数复合函数的导数如果如果在点在点 处有导数处有导数在对应点在对应点处有导数处有导数则复合函数则复合函数在点
2、在点 处的导数也存在处的导数也存在,而且而且或或定理定理3.5故故证证例例4求求的导数的导数.解解解解令令则则解解例例5 求求的导数的导数.解解令令则则解解例例6求求的导数的导数.解解例例7求求的导数的导数.解解例例8求求的导数的导数.解解故故三三.抽象复合函数的导数抽象复合函数的导数例例9已知已知可导可导,求求解解四四.分段函数的导数分段函数的导数例例10 已知函数已知函数求求解解因因不存在不存在故故分段函数求导函数时注意分段函数求导函数时注意(1)每一段内求导用法则求每一段内求导用法则求,(2)分界点求导用定义求分界点求导用定义求.五五.隐函数的导数隐函数的导数例例11 求由方程求由方程所
3、确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数.解解方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得即即故故求求例例12 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数.解解方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得即即故故例例13 求由方程求由方程所确定的所确定的的导数的导数.解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得即即故故隐函数隐函数例例14 求曲线求曲线上点上点(2,2)处的处的的切线方程的切线方程.解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得故故所以切线方程为所以切线方程为即即例例15 设球半径设球半径R以以2厘米
4、厘米/秒等速度增加秒等速度增加,求当球半径求当球半径R=10厘米时厘米时,其体积其体积V增加的速度增加的速度.解解例例16 设设,求求解解 将等式两边取对数将等式两边取对数方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导六六.对数求导法对数求导法例例16 设设,求求解解 将将两边取对数两边取对数方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导求求是由是由复合而成复合而成解解七七.由参数方程确定的函数的求导法由参数方程确定的函数的求导法例例19 椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为椭圆在椭圆在的对应点的对应点M0处的切线处的切线方程和法线方程方程和法线方程.,求求解解时时,椭圆上的对应点椭圆上的对应点为为切线方程切线方程即即法线方程法线方程即即作业题作业题习题三习题三(A)14、15、16、17、18、19、20、21、22、23.
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