经济数学导数.pptx

calculus13.1 导数导数的概念的概念引例引例1、变速直线运动的瞬时速度、变速直线运动的瞬时速度一、引例一、引例calculus2（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时calculus3引例引例2 平面曲线切线的斜率平面曲线切线的斜率 在点求曲线L：处切线的斜率。割线 MN 的斜率为：calculus4割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线。切线 MT 的斜率为：当时,calculus5二、导数的定义二、导数的定义calculus6calculus7calculus8calculus9calculus10calculus11三、导数的几何意义三、导数的几何意义calculus12四、单边（侧）导数四、单边（侧）导数calculus13calculus14同样单边导数定义式也可简化为：calculus15例.求函数在在处的导数.解解所以所以,函数函数在在处不可导处不可导.思考思考calculus16五、可导性与连续性的关系五、可导性与连续性的关系若函数若函数在在处可导处可导,则必连续则必连续.事实上事实上,因因在在处可导处可导,即即定理定理2.1所以所以,函数函数在在处连续处连续.calculus17例例.求函数求函数在在处的导数处的导数.解解所以所以,函数函数在在处不可导处不可导.0问题：连续是否一定可导？问题：连续是否一定可导？calculus18calculus191-1calculus20函数在其可导的点处一定连续函数在其可导的点处一定连续函数在其不连续的点处一定不可导函数在其不连续的点处一定不可导函数在其连续的点处不一定可导函数在其连续的点处不一定可导结论结论calculus21六、用定义求导数举例六、用定义求导数举例同样单边导数定义式也可简化为：calculus22例例1.求函数求函数(常数常数)的导数的导数.解解常数的导数等于零常数的导数等于零例例2.求函数求函数的导数的导数.解解calculus23例例3.求指数函数求指数函数的导数的导数.解解calculus24例例4.设设求求解解特别地特别地,calculus25例例5.设设求求解解正弦函数的导数等于余弦函数正弦函数的导数等于余弦函数.类似得类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数余弦函数的导数等于负的正弦函数.calculus26注：分段函数分段点的导数必须用定义求注：分段函数分段点的导数必须用定义求例例6.设函数设函数解解因为calculus27例例7.解解calculus28方法一：方法一：例例8.解解calculus29calculus30方法二：方法二：calculus31calculus32解解例例9.calculus33由导数的几何意义知,所求切线的斜率为:所求切线方程为:即所求法线方程为:即解解例例11.calculus343.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式与求导运算法则一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则calculus35证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)calculus36calculus37证毕证毕.calculus38例例1.解解calculus39解解:例例2.calculus40求解解例例3.calculus41例例4.解解calculus42解解例例5.calculus43常用公式：常用公式：calculus44二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则calculus45calculus46解解例例5.calculus47解解例例6.calculus48三、基本导数的公式三、基本导数的公式calculus49calculus50calculus51Guess四、复合函数求导法则四、复合函数求导法则calculus52calculus53calculus54法则法则5(连锁法则连锁法则)Outfunctioninnerfunctioncalculus55证证在点在点可导，可导，由由知由极限与无穷小关系知由极限与无穷小关系知于是于是calculus56即即calculus57解解.例例1 求下列函数的导数calculus58更更简简明明的的过过程程calculus59解解例例2.更简明更简明的过程的过程calculus60解解例例3.calculus61例例4.解解calculus62复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.设设则则或或calculus63例例.求解解calculus64更简明更简明的过程的过程calculus65例例求解解calculus66例例求解解calculus67例例8 8解解calculus68形如，形如，的函数称为的函数称为显函数显函数.若若与与的函数关系由方程的函数关系由方程所确定所确定,称这类函数为称这类函数为隐函数隐函数.五、隐函数求导法五、隐函数求导法calculus69解解例例9 calculus70解解例例10calculus71解解例例11calculus72六、对数求导法六、对数求导法两类函数2.有简便求有简便求calculus73对 x 求导两边取对数例例12calculus74calculus75例例13 求的导数.解解 两边取对数,化为隐函数两边对 x 求导calculus76解法解法2 将函数化为复合函数calculus77例例12解解 两边取对数 对 x 求导calculus78calculus79引例引例.一块正方形金属薄片受温度的影响一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由其边长由变到变到问此薄片的问此薄片的面积改变了多少面积改变了多少?面积的改变量：面积的改变量：一、微分的引进一、微分的引进3.3 微分微分calculus80calculus81二、微分的定义二、微分的定义calculus82证证(必要性必要性)calculus83(充分性充分性)设函数设函数在点在点处处可导可导,即即与与无关无关,是较是较高阶的无穷小高阶的无穷小.所以函数所以函数在点在点处处可微可微.且且calculus84说明说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当calculus85calculus86calculus87注意：注意：calculus88三、基本微分公式与微分法则三、基本微分公式与微分法则根据根据可得基本初等函数的微分公式：可得基本初等函数的微分公式：calculus89微分法则微分法则：设设都可微，都可微，则则calculus90微分法则微分法则：设设都可微，都可微，则则calculus91复合函数的微分法则：复合函数的微分法则：设设而而所以所以即微分形式的不变性即微分形式的不变性calculus92calculus93calculus94calculus95calculus96四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用由微分定义知由微分定义知,当当时时,因此因此,当当很小时很小时,有有近似公式近似公式:(1)即即(2)(3)calculus97Linear Approximations and Differentialscalculus98解解:设取则的近似值.例例求calculus99calculus100即在生产100单位产品的基础上再多生产一单位产品，成本会增加2.96calculus101可证可证,当当很小时很小时,有近似公式有近似公式:当当很小时很小时,(4)calculus102calculus103解解:的近似值.例例.计算calculus104速度即加速度即引例引例：变速直线运动3.4 高阶导数高阶导数calculus105记作：或即二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：或calculus106三阶导数的导数，叫做三阶导数的导数，叫做四阶导数四阶导数，记作：记作：或或阶导数的导数，叫做阶导数的导数，叫做阶导数阶导数，记作：记作：或或函数函数有有阶导数，阶导数，也说函数也说函数为为阶可导阶可导。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。calculus107calculus108calculus109calculus110calculus111calculus112calculus113calculus114calculus115由上面各阶导数可以得到calculus116二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式及设函数calculus117例例.求解解:设则代入莱布尼兹公式,得calculus118calculus119以上这个公式称为莱布尼兹（Leibniz公式，可用于求乘积的高阶导数calculus120calculus121calculus122calculus123calculus124calculus1253.5 边际与弹性边际与弹性一、边际的概念一、边际的概念calculus126calculus127calculus128calculus129calculus130calculus131calculus132二、弹性函数二、弹性函数1、弹性的概念、弹性的概念弹性的意义：弹性的意义：calculus133calculus134幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数calculus1352、弹性的经济应用、弹性的经济应用(1)需求价格弹性需求价格弹性注意注意calculus136calculus137calculus138(2)供给价格弹性供给价格弹性calculus139(3)收益价格弹性收益价格弹性calculus140calculus141