1、第三章第三章二阶线性偏微分方程的化简及其二阶线性偏微分方程的化简及其分类分类 祁影霞作祁影霞作二阶线性偏微分方程的一般形式：其中 是自变量 的函数，如果f=0，则方程是线性齐次方程，否则方程是非线性齐次方程。3.1 两个自变量方程的化简两个自变量方程的化简一般形式：其中只是x，y的函数。以下讨论时 是实数。作变量代换如下：（3-1）假定 则在上式代换下方程（3-1）变为 （3-2）其中系数：（3-3）从（3-3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程（3-4）的一个特解作为，则 从而A11=0。如果取（3-4）的另外一个特解作为 则A22=0，这样方程（3-2）就可以简化。一阶偏微分方程（3-4）的
2、求解可以转化为常微分方程的求解，将（3-4）改写成：如果将 看作定义隐函数 的方程，则从而有：（3-5）常微分方程（3-5）叫做二阶线性偏微分方程的特征方程。特征方程的一般积分和 叫做特征线。（3-5）的解为：（3-6）若，二阶线性偏微分方程为双曲型方程 若，二阶线性偏微分方程为抛物型方程 若，二阶线性偏微分方程为椭圆型方程 1：双曲型当 时，（3-6）式给出一族实的特征曲线取 则，这时方程变为若再作 则上述方程变为：（3-7）2：抛物型当，这时（3-6）式只有一个解 它只能给出一个实的特征线，。取与 函数无关的 作为另一个新的变量则有（3-8）3：椭圆型当 时，（3-6）式各给出一族复特征线
3、在该变换下：且方程化为：令 则有：（3-9）5-1 5-1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类由前面的讨论可知，方程(3.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。若方程(3.1)的主部系数 在区域中某一点(x0，y0)满足则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在中则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;相应地，(3.7)、(3.8)和(3.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。3.2 方程的分类方程的分类标准形式例1：判断下面偏微分方程的类型并化简 解：故 故该方程为
4、双曲型偏微分方程，其特征方程或 故有 或 取新变量 则，代入原方程得：即：例题例题2：把方程：把方程分类并化为标准形式分类并化为标准形式 5-1 5-1 二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类解：该方程的解：该方程的故该方程是抛物型的。故该方程是抛物型的。特征方程：特征方程：从而得到方程的一族特征线为：从而得到方程的一族特征线为：作自变量代换作自变量代换(由于由于和和必须函数无关必须函数无关,所以所以宜取最宜取最简单的函数形式简单的函数形式,即即=x 或或=y)于是，原方程化简后的标准形式为：于是，原方程化简后的标准形式为：特征的解：特征的解：例题例题3：判断下面偏微分方程的类型并化简：判断下面偏微分方程的类型并化简解：解：特征方程特征方程特征方程的解：特征方程的解：特征线：特征线：令：令：双曲型方程双曲型方程例4：判定下列二阶方程的类型（1）（2）（3）
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