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第五章本章内容第一节刚体 质心运动定理质心运动定理注意各量注意各量物理意义物理意义 例：例：将一哑铃抛出时，哑铃上每个质点的轨道都不是将一哑铃抛出时，哑铃上每个质点的轨道都不是抛物线，但抛物线，但质心然作抛物线运动。质心然作抛物线运动。一般刚体运动很复杂，但可以看成是平动和转动的合成。一般刚体运动很复杂，但可以看成是平动和转动的合成。可以证明，质心的运动遵循以下规律：可以证明，质心的运动遵循以下规律：不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此，而且所有的外心的运动就象物体的全部质量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。力都作用于其上的一个质点的运动一样。动画动画动画动画动画动画炮弹在飞行轨道上爆炸成碎片，炮弹在飞行轨道上爆炸成碎片，质心仍在抛物线上质心仍在抛物线上质心：质心：刚体的质量分布中心。通常以刚体的质量分布中心。通常以质心（质心（c）的运动来的运动来代表整个刚体的平动。代表整个刚体的平动。平动定轴转动第二节线量与角量的关系线量与角量的关系 以逆时针转动为例以逆时针转动为例 3.刚体的定轴转动刚体的定轴转动（1）特征）特征:转轴上各点静止，其它各质元转轴上各点静止，其它各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。各质元的各质元的 相同相同 不同不同各质元的各质元的 相同相同 不同不同（2）匀加速定轴转动的公式）匀加速定轴转动的公式:动画动画第三节引言或F =m a力矩合力矩内力矩转动定律续上第四节力矩的功例转动动能 JEk221=m：质点惯性的量度：质点惯性的量度J：刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度如果刚体连续分布如果刚体连续分布J 的大小与刚体总质量、质量分布、转轴位置有关的大小与刚体总质量、质量分布、转轴位置有关.kg.m2,标量。标量。质量分布离轴越远质量分布离轴越远J 越大越大.20 同一刚体，转轴位置不同，转动惯量不一样。同一刚体，转轴位置不同，转动惯量不一样。10 在总质量一定的情况下，在总质量一定的情况下，刚体的转动动能为刚体的转动动能为（刚体对给定转轴的（刚体对给定转轴的转动惯量转动惯量）J 小小J 大大讨论讨论几种常见刚体的转动惯量：几种常见刚体的转动惯量：细棒细棒细棒细棒薄圆环薄圆环或薄圆筒或薄圆筒圆盘或圆盘或圆柱体圆柱体薄球壳薄球壳球体球体例.求质量 m,半径 R 的球壳对直径的转动惯量解：解：取离轴线距离相等的点的取离轴线距离相等的点的 集合为积分元集合为积分元例.求质量 m,半径 R 的球体对直径的转动惯量解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球壳的球壳 为积分元为积分元Ro薄球壳薄球壳移轴定理计算须知例铁铁木木铁铁木木10木木铁铁木木铁铁10铁铁铁铁10 0木木铁铁铁铁木木10木木铁铁小实验长长杆杆短短铅铅笔笔例 213 1 1321转动动能定理功能关系例书例10第五节刚体角动量角动量定理关键式对对照照质质点点例角动量受恒演示转台花样滑冰共轴系统直升飞机在本实验中，对机身、螺旋桨和尾桨构成的转动系统来在本实验中，对机身、螺旋桨和尾桨构成的转动系统来说，没有对转轴的合外力矩，由定轴转动角动量守恒定说，没有对转轴的合外力矩，由定轴转动角动量守恒定律，直升飞机系统对竖直轴的角动量应保持不变。当通律，直升飞机系统对竖直轴的角动量应保持不变。当通电使机身上面的螺旋浆旋转时，螺旋浆便对竖直轴产生电使机身上面的螺旋浆旋转时，螺旋浆便对竖直轴产生了角动量，机身必须向反方向转动，使其对竖直轴的角了角动量，机身必须向反方向转动，使其对竖直轴的角动量与螺旋浆产生的角动量等值反向，以保持系统的总动量与螺旋浆产生的角动量等值反向，以保持系统的总角动量不变。开动尾翼时，尾翼推动大气产生补偿力矩，角动量不变。开动尾翼时，尾翼推动大气产生补偿力矩，由角动量原理，该力矩能够克服机身的反转，使机身保由角动量原理，该力矩能够克服机身的反转，使机身保持不动。持不动。例例.如图，质量为如图，质量为 M 半径为半径为 R 的转台初始角速度为的转台初始角速度为 0,有有一质量为一质量为m 的人站在转台的中心的人站在转台的中心,若他相对于转台以恒定若他相对于转台以恒定的速度的速度 u 沿半径向边缘走去沿半径向边缘走去,求人走了求人走了t 时间后时间后,转台转过转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）解：解：人与转台系统对轴人与转台系统对轴角动量守恒角动量守恒:设设 t 时刻人走到距转台中心时刻人走到距转台中心 r=ut 处，转台的角速度为处，转台的角速度为 .无外力矩作功无外力矩作功积分加初始条件积分加初始条件对小球：对小球：动量定理动量定理:例例.一根质量为一根质量为 M，长为，长为l 的均匀细棒，可绕通过棒中心的均匀细棒，可绕通过棒中心的垂直轴的垂直轴 Z，在，在 xy 平面内转动。开始时静止，今有质量平面内转动。开始时静止，今有质量为为 m 的小球以速度的小球以速度 逆着轴的方向碰撞棒的端点，假逆着轴的方向碰撞棒的端点，假设碰撞是弹性的，试求碰撞后小球的弹回速度设碰撞是弹性的，试求碰撞后小球的弹回速度 和棒的和棒的 角速度角速度 动画动画受力分析：小球受力分析：小球 棒棒解法一解法一 研究对象：小球，棒研究对象：小球，棒标量标量:对棒：对棒：角动量定理角动量定理球、棒、地系统机械能守恒：球、棒、地系统机械能守恒：（3）（）（4）联立将）联立将 代入，舍弃代入，舍弃 的解的解方向：沿方向：沿 y 正向正向方向：沿方向：沿 z 正向正向解法二解法二:应用角动量守恒和机械能守恒定律应用角动量守恒和机械能守恒定律研究系统：小球、细棒研究系统：小球、细棒（内力矩很大，小球重力忽略）（内力矩很大，小球重力忽略）碰撞前后，角动量守恒：碰撞前后，角动量守恒：碰撞前的质点角动量，碰撞后质点角动量碰撞前的质点角动量，碰撞后质点角动量+刚体角动刚体角动量守恒量守恒!质点角动量质点角动量:Z的负方向的负方向Z的正方向的正方向Z的正方向的正方向（4）（）（5）联立可求）联立可求弹性碰撞，球、棒、地系统机械能守恒：弹性碰撞，球、棒、地系统机械能守恒：例例.一质量为一质量为M、长、长l 的均匀细杆，以的均匀细杆，以 0点为轴，从静止在点为轴，从静止在与竖直方向成与竖直方向成 0 角处自由下摆，到竖直位置时，与光滑角处自由下摆，到竖直位置时，与光滑桌面上一质量为桌面上一质量为 m 的静止物体（质点）发生弹性碰撞。的静止物体（质点）发生弹性碰撞。求碰撞后求碰撞后M 的角速度的角速度 M 和和 m 的的 线速度线速度 v m 动画动画解解:杆自由下摆杆自由下摆,机械能守恒机械能守恒.（设杆摆到竖直位（设杆摆到竖直位置时角速度为置时角速度为 0）杆与物弹性碰撞过程系统对轴的角动量守恒杆与物弹性碰撞过程系统对轴的角动量守恒,机械能守恒机械能守恒:零势面零势面(1)、(2)、(3)式联立解得：式联立解得：36 刚体的平面运动刚体的平面运动1.纯滚动纯滚动S=2 RAcccRAA0可看成可看成质心平动质心平动刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动合成合成（或整个刚体绕瞬心（或整个刚体绕瞬心 0 转动）转动）运动方程运动方程质心平动质心平动rrcamF=合外力合外力cyycxxmaFmaF=定轴转动定轴转动b b=t tb b=t tJJrr合外力矩合外力矩注意：注意：10 角量是对质心而言的，可以证明：角量是对质心而言的，可以证明：b b=RaRvcc20 瞬心瞬心“0”的速度的速度 v0=0 ！30 S=R 因轴上各点静止因轴上各点静止动画动画例例.一个质量为一个质量为m半径为半径为 R 的均匀圆柱体，从倾角为的均匀圆柱体，从倾角为 的的斜面上由静止开始无滑动地滚下，求质心的加速度。斜面上由静止开始无滑动地滚下，求质心的加速度。cR解法一：解法一：研究对象：圆柱体研究对象：圆柱体建立坐标、受力分析：如图建立坐标、受力分析：如图运动方程：运动方程：平动平动：转动：转动：联立，求得：联立，求得：将将 ac 代入（代入（1）可得维持圆柱体滚动的）可得维持圆柱体滚动的最小静摩擦力最小静摩擦力动画动画解法二：解法二：研究对象：圆柱体、三角块、地球组成的系统。研究对象：圆柱体、三角块、地球组成的系统。圆柱体受力：圆柱体受力：N ，f ，m g只有只有 m g 作功，机械能守恒。初态：顶部作功，机械能守恒。初态：顶部 末态：底部末态：底部cR零势面零势面Rv c=,mRJ=2210注注意意解解法法一一可可以以求求力力，解解法法二二则则不不能能，说说明明运运动动定定律律的的作作用用。N ，f 都作用在都作用在 瞬心上，无滑动，不作功。瞬心上，无滑动，不作功。Rvc=或直接计算相对瞬心的转动能：或直接计算相对瞬心的转动能：0 37 进动进动1.进动：进动：陀螺在绕本身的对称轴线转动的同时，对称轴还陀螺在绕本身的对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖直轴将绕竖直轴 OZ 转动转动,这种回转现象称为进动。这种回转现象称为进动。2.进动产生的原因：进动产生的原因：重力对重力对 0 点的力矩为点的力矩为 ，的方向：的方向：的方向与的方向与 一致一致Ldr 使使 改变方向改变方向故陀螺的自转轴改变方向，绕一故陀螺的自转轴改变方向，绕一竖直轴竖直轴进动进动可以证明可以证明动画动画根据角动量定理：根据角动量定理：动画动画LdrL如果趋于如果趋于0:L进动进动角速度角速度XyY方向即垂直屏方向即垂直屏幕向里的方向幕向里的方向陀螺转速慢了为什么会倒？陀螺转速慢了为什么会倒？证明等式证明等式:LdL回转效应回转效应(进动进动)的应用的应用:（1）子弹、炮弹、导弹在飞行时绕自身的轴旋转，遇到）子弹、炮弹、导弹在飞行时绕自身的轴旋转，遇到阻力，偏离轴向后，产生进动，总的运动仍保持原方向前阻力，偏离轴向后，产生进动，总的运动仍保持原方向前进。进。（2）飞机的自动驾驶，轮船的稳定器）飞机的自动驾驶，轮船的稳定器动画动画（3）自旋电子在外磁场中的进动，抗磁性的微观机理）自旋电子在外磁场中的进动，抗磁性的微观机理陀螺仪陀螺仪LLga完备用题集例阶段问题下摆阶段下摆阶段球、棒、地球球、棒、地球系统，系统，含转动的含转动的机械能守恒机械能守恒。弹碰阶段弹碰阶段（铅垂位置）（铅垂位置）弹、棒系统，合外力矩为零弹、棒系统，合外力矩为零角动量守恒角动量守恒。而且而且 转、平动能守恒转、平动能守恒。弹碰弹碰光滑光滑击入阶段击入阶段（铅垂位置）（铅垂位置）弹、棒系统，合外力矩弹、棒系统，合外力矩为零，为零，角动量守恒角动量守恒。上摆阶段上摆阶段弹、棒、地球弹、棒、地球系统，系统，含转动的含转动的机械能守恒机械能守恒。或或选选弹、棒弹、棒系统，则用系统，则用含转动的含转动的动能定理动能定理。击入摩擦大，动能不守恒。击入摩擦大，动能不守恒。例具体分析弹嵌于棒弹嵌于棒子弹子弹上上摆摆最最大大转转角角木棒木棒联立解得联立解得以弹、棒为系统以弹、棒为系统击入阶段击入阶段子弹击入木棒瞬间子弹击入木棒瞬间，系统在系统在铅直位置，受合铅直位置，受合外力矩为零外力矩为零，角动量守恒角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之始该瞬间之末该瞬间之末弹弹棒棒弹弹棒棒上摆阶段上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，弹嵌定于棒内与棒一起上摆，用用系统动能定理系统动能定理，其中非保守内力的功为零，其中非保守内力的功为零，外力（重外力（重力）的功力）的功外外上摆末动能上摆末动能上摆初动能上摆初动能其中其中例具体分析弹碰弹碰光滑光滑地面为零势面地面为零势面下摆阶段下摆阶段球、棒、地球球、棒、地球系统，系统，机械能守恒机械能守恒棒的势能改变量棒的势能改变量从摆阶到要碰但没碰从摆阶到要碰但没碰棒转动动能棒转动动能弹碰阶段弹碰阶段 铅垂位置的瞬间过程铅垂位置的瞬间过程弹、棒系统，合外力矩为零弹、棒系统，合外力矩为零角动量守恒角动量守恒球球棒棒棒棒球球后而且弹碰而且弹碰 转、平动能守恒转、平动能守恒后棒棒球球棒棒球球三个独立方程，可联立解出三个独立方程，可联立解出后三个未知数。三个未知数。题1234书例15567Rm1m细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑静静止止释释放放轮轮绳绳m1转转动动平平动动mRm1联联立立解解得得转动转动平动平动角角 线线(1)(2)(3)若轴有摩擦力矩若轴有摩擦力矩 Mr 则则(1)变为变为 TR Mr =J Mr 的测量，可通过调整的测量，可通过调整 m 1 的大小，到匀速下降的大小，到匀速下降时的时的 m 1 则则 Mr =m 1 g R 8细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑初初始始静静止止变力变力9 匀直细杆一端为匀直细杆一端为轴水平静止释放轴水平静止释放下摆到下摆到 处的处的力矩力矩角加速度角加速度力臂力臂由由求求本题本题代入得：代入得：讨论：在两个特殊位置上的情况讨论：在两个特殊位置上的情况续 匀直细杆一端为匀直细杆一端为轴水平静止释放轴水平静止释放下摆到下摆到 处的处的力矩力矩角加速度角加速度力臂力臂由由求求本题本题代入得：代入得：讨论：在两个特殊位置上的情况讨论：在两个特殊位置上的情况由由求求本题本题应用前两章学过的数学方法，还可继续求应用前两章学过的数学方法，还可继续求角速度角速度由由而而得得10制动前制动前0.50.6930.6930.5降至降至0.5时的时的制动过程使得制动过程使得需时需时制动的制动的阻力矩阻力矩0.5211拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩总摩擦力矩 是是各微环带摩擦元力矩各微环带摩擦元力矩 的积分的积分环带面积环带面积环带质量环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力环带受摩擦力矩环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功转一周摩擦力矩的总功得得粗粗 糙糙 水水 平平 面面转轴平放一圆盘平放一圆盘12匀质圆盘匀质圆盘盘缘另盘缘另固固连连一质点一质点水平静水平静止释放止释放通过盘心垂直通过盘心垂直盘面的水平轴盘面的水平轴圆盘下摆圆盘下摆 时质点时质点 的的角速度角速度、切向、法向加速度、切向、法向加速度的大小对对系统系统外力矩的功外力矩的功系统转动动能增量系统转动动能增量其中其中得得由转动定律由转动定律得得则则13段，外力矩作正功段，外力矩作正功段，外力矩作负功段，外力矩作负功合外力矩的功合外力矩的功从水平摆至垂直从水平摆至垂直由由得得转轴对质心轴的位移转轴对质心轴的位移 代入得代入得摆至垂直位置时杆的摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放水平位置静止释放14A A、B B两轮共轴两轮共轴A A以以 A A作惯性转动作惯性转动 以以A A、B B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量初态角动量末态角动量末态角动量得得两轮啮合后两轮啮合后一起作惯性转动的角速度一起作惯性转动的角速度 ABAB15 满足什么条件时，小球（视为满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。球恰好静止。直棒起摆直棒起摆角速度角速度匀质直棒与单摆匀质直棒与单摆小球的质量相等小球的质量相等两者共面共转轴两者共面共转轴水水平平静静止止释释放放静静悬悬弹碰弹碰忽略摩擦忽略摩擦联立解得联立解得0.5771.861对摆球、直棒地球系统对摆球、直棒地球系统小球下摆阶段小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始，从水平摆到弹碰即将开始，机械能守恒机械能守恒 球、棒相碰球、棒相碰瞬间瞬间在铅垂位置，在铅垂位置，系统受合外系统受合外力矩为零力矩为零，角动量守恒角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量刚碰过后系统角动量球球棒棒球球棒棒弹碰阶段弹碰阶段其中其中弹碰过程转、平动能守恒弹碰过程转、平动能守恒星系形成