投影理论2直角投影定律平面平面的倾角.pptx

第第2章章 投影理论（投影理论（2）1、P29：正投影法及其特性 (表2-1)2、P32：三面投影形成及投影规律 （图2-4）P78 P33：点的投影规律 （图2-5）3、P40：投影面垂直线的投影特性 （表2-6）P810 P39：投影面平行线的投影特性 （表2-5）4、P4244：一般位置直线的实长、倾角（图2-16）P10125、P4448：两直线的相对位置（直线上的点）P13171、P48：直角投影定律 P1819（第2224题）2、P52表2-8：投影面平行面的投影特性 P2022 P51表2-7：投影面垂直面的投影特性 3、平面上的点和线 P23 推广：求推广：求？4、P56：平面上的最大斜度线、平面的倾角（图2-38）P24（第30、31题）1、正投影的特性、正投影的特性 P29 表表2-1 2、点的三面投影的形成过程、点的三面投影的形成过程:P33图图2-5 1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴；2）点的投影到投影轴的距离=空间点到相应投影面的距离。高平齐长对正宽相等投影规律投影规律 V V 面面上点（上点（X X、0 0、Z Z）H H 面面上点（上点（X X、Y Y、0 0）W W 面面上点（上点（0 0、Y Y、Z Z）3.3.原点原点上的点上的点:（0 0、0 0、0 0）X X 轴轴上点上点 （X X、0 0、0 0）Y Y 轴轴上点上点 （0 0、Y Y、0 0）Z Z 轴轴上点上点 （0 0、0 0、Z Z）1.1.投影投影面面上的点：上的点：空间点的坐标值空间点的坐标值有一个为零。有一个为零。2.2.投影投影轴轴上点上点:空间点的坐标值空间点的坐标值有两个为零。有两个为零。特殊位置点特殊位置点:3 3、投投影影面面垂垂直直线线名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂线铅垂线（H H）正垂线正垂线（V V）侧垂线侧垂线（W W）(1)(1)H H 投影为一点，投影为一点，有积聚性；有积聚性；(2)(2)a a b bOX,OX,a a b bOYOYW W；(3)(3)a a b b=a a b b =AB =AB(1)(1)V V 投影为一点，投影为一点，有积聚性；有积聚性；(2)(2)abab OX,OX,a a b bOZOZ ；(3)(3)abab=a a b b =AB=AB(1)(1)W W 投影为一点，投影为一点，有积聚性；有积聚性；(2)(2)abab OYOYH H,a a b bOZOZ ；(3)3)abab=a a b b =AB =AB投投影影面面平平行行线线名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平线水平线（H H）正平线正平线（V V）侧平线侧平线（W W）(1)(1)a a b b OX,OX,a a b b OYOYW W；(2)(2)ab=ABab=AB；(3)(3)反映夹角反映夹角、大小大小(1)abOX,(1)abOX,a a b b OZOZ；(2)(2)a a b b=AB=AB；(3)(3)反映夹角反映夹角、大小大小(1)(1)abOYabOYH H,a a b b OZOZ；(2)(2)a a b b=ABAB(3)(3)反映夹角反映夹角、大小大小一般位置直线一般位置直线直线与直线与H、V 和和W三投影面的夹角分别用三投影面的夹角分别用、表示。表示。4求直线的求直线的实长实长及对及对水平投影面水平投影面的夹角的夹角 角角 ABCXOVHb b a abZ ABabZ分析：分析：过过A点点作作ACab，则得到则得到直角三角形直角三角形ABC。在该三角形中在该三角形中ACab，BCBbAa Z Z(A、B两点的两点的Z坐标差坐标差)，而而BAC即即角角，斜边斜边即即AB实长实长。AB ABZabb bZXaABCXOVHb b a b b a abZZ ABabZ作图步骤：作图步骤：求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。角。a ab XbABa b AB a b YAB YY方法一方法一方法二方法二已知直线AB的=30，试求其另一投影。（水平投影（水平投影+z）（正面投影（正面投影+y）（侧面投影（侧面投影+x）只要能从只要能从实长实长、倾角倾角、投影长度投影长度和和坐标差坐标差四个元素中着四个元素中着手找出已知的两个元素，就可作出直角三角形，其它的未知手找出已知的两个元素，就可作出直角三角形，其它的未知元素也就迎刃而解了。注意：倾角、投影长度和坐标差的元素也就迎刃而解了。注意：倾角、投影长度和坐标差的搭搭配关系配关系！空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。平行两直线平行两直线 空间两直线平行，则其空间两直线平行，则其各同面投影各同面投影必必相互相互平行平行，反之亦然。反之亦然。5 5、两直线的相对位置、两直线的相对位置相交两直线相交两直线 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同则其同面面投影必相交，投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之亦然。反之亦然。交叉两直线交叉两直线 同面投影可能相交，但交点同面投影可能相交，但交点不符合空间一不符合空间一个点的投影规律个点的投影规律。若两直线既不平行又不相交，则它们是若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线。交叉直线。两种特殊情况：两种特殊情况：1）当两直线有两当两直线有两个投影均互相平行，个投影均互相平行，且又同时平行于第且又同时平行于第三个投影面时，一三个投影面时，一般般应观察应观察该该两直线两直线所平行的那个投影所平行的那个投影面上的投影面上的投影来来判断判断两直线两直线是否平行是否平行。2）当直线的两个当直线的两个投影都相交，且其投影都相交，且其中一直线平行于第中一直线平行于第三个投影面时，一三个投影面时，一般应观察般应观察投影面平投影面平行线所平行的那个行线所平行的那个投影面上的投影投影面上的投影，或或按线上点的等比按线上点的等比关系关系，来判断两直，来判断两直线是否相交。线是否相交。5、直角投影定理、直角投影定理 P48图2-27 空间垂直相交的两直线，空间垂直相交的两直线，若其中的一条直线平行于若其中的一条直线平行于某投影面时，则这两条直某投影面时，则这两条直线在该投影面上的投影为线在该投影面上的投影为直角。直角。反之，若相交两直线在反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。空间必互相垂直。直角投影定理也适用于直角投影定理也适用于交叉垂直两直线的投影。交叉垂直两直线的投影。例试求例试求A点至水平线点至水平线BC的距离的距离(投影和实长投影和实长)。1）作）作akbc，akbck；2）由）由k求得求得kbc，则，则ak、ak为距离的两投影；为距离的两投影；3）求）求距离的实长。距离的实长。不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行两平行直线直线两相交两相交直线直线平面平面图形图形用几何元素表示平面用几何元素表示平面 P50图图2-302.3.3 2.3.3 平面的投影平面的投影 P50P501 1、各种位置平面的投影特性、各种位置平面的投影特性 P51P51平面对于三投影面的位置可分为平面对于三投影面的位置可分为三类三类：1)1)投影面平行面投影面平行面；2)2)一般位置平面一般位置平面；3)3)投影面垂直面投影面垂直面。1 1）投影面平行面）投影面平行面 P52P52表表2-82-8平行于投影面平行于投影面(垂直于其余两个投影面垂直于其余两个投影面)。根根据据其其所所平平行行的的投投影影面面不不同同，投投影影面面平平行面也可分为行面也可分为三种三种：1)1)水平面水平面平行于平行于H H 面；面；2)2)正平面正平面平行于平行于V V 面；面；3)3)侧平面侧平面平行于平行于W W 面。面。投影面平行面的投影面平行面的投影特性投影特性是：是：1)1)如如平平面面用用平平面面形形表表示示，则则其其在在所所平平行行的的投投影面上的投影，影面上的投影，反映反映平面形的平面形的实形实形；2)2)在在另另外外两两个个投投影影面面上上的的投投影影均均为为直直线线段段，有有积聚性积聚性，且，且平行于相应的投影轴平行于相应的投影轴。名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平面水平面（H H）正平面正平面（V V）侧平面侧平面（W W）1)1)H H 投影反映投影反映 实形；实形；2)2)V V、W W 投影投影分别为平行分别为平行OXOX、OYOYW W轴的直轴的直线段，有积聚线段，有积聚性性1)1)V V 投影反映投影反映实形；实形；2)2)H H、W W 投影投影分别为平行分别为平行OXOX、OZ OZ 轴的直轴的直线段，有积聚线段，有积聚性性1)1)W W 投影反映投影反映实形；实形；2)2)V V、H H 投投 影影分别为平行分别为平行OZOZ、OYOYH H 轴的直轴的直线段，有积聚线段，有积聚性性一面两线一面两线2 2）一般位置平面）一般位置平面 P54图图2-88 一般位置平面和三个投影面一般位置平面和三个投影面既不垂直既不垂直也不平行也不平行，所以，如用平面形表示一般位，所以，如用平面形表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有具有类似性类似性。3 3）投影面垂直面）投影面垂直面 P51表表2-7垂直于一个投影面（与其余两个投影面倾斜）。垂直于一个投影面（与其余两个投影面倾斜）。根据其所垂直的投影面不同，可以分为根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种三种：1)1)铅垂面铅垂面垂直于垂直于H H 面；面；2)2)正垂面正垂面垂直于垂直于V V 面；面；3)3)侧垂面侧垂面垂直于垂直于W W 面。面。投影面垂直面的投影面垂直面的投影特性投影特性是：是：1)1)在在其其所所垂垂直直的的投投影影面面上上，投投影影为为斜斜直直线线，有有积积聚聚性性；该该斜斜直直线线与与投投影影轴轴的的夹夹角角反反映映该该平平面对相应投影面的面对相应投影面的倾角倾角；2)2)在在另另外外两两个个投投影影面面上上的的投投影影不不是是实实形形，但有但有相仿性相仿性。名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂面铅垂面（H H）正垂面正垂面（V V）侧垂面侧垂面（W W）1)1)H H投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映、大小；大小；2)2)V V、W W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性1)1)V V投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映、大小；大小；2)2)H H、W W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性1)1)W W投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映、大小；大小；2)2)H H、V V投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性一一线线两两面面2 2、平面上的直线和点、平面上的直线和点 P5455P5455点在平面上的条件：点在平面上的条件：如果点在平面上的某一直线上，则如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上此点必在该平面上。直线在平面上的条件：直线在平面上的条件：1 1、通过平面上的两个点。、通过平面上的两个点。2 2、通过平面上的一个点，、通过平面上的一个点，且平行于平面上的一条直线且平行于平面上的一条直线。例例1已知三棱锥已知三棱锥SAB面上一点面上一点K的的V投影投影k，试求其试求其H投影投影k。1 1、过、过k作作sm；求出；求出sm；在；在sm上求出上求出k。2、或者、或者过过k作作kmsa；由；由m求出求出m；过；过m 作直作直线平行于线平行于sa ；在该直线上求出；在该直线上求出k。1 1）连接）连接a a、c c 和和acac 得辅助线得辅助线AC AC 的两投影；的两投影；aaccb bbba ac cX X2 2）连接）连接b b、，、，b b交交acac于于e e；3 3）由）由e e在在acac上求出上求出ee；4 4）连接）连接bebe，在在bebe上求出上求出；5 5）分别连接）分别连接aa及及 cc，即为所求。，即为所求。e eee例例2已知四边形平面已知四边形平面ABCD的的H投影投影abc和和ABC的的V 面面投影投影abc，试完成其，试完成其V投影投影。3、平面上的特殊位置直线平面上的特殊位置直线 P55平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 平面上的投影面平行线，有平面上的平面上的投影面平行线，有平面上的水平水平线线、正平线正平线和和侧平线侧平线三种三种 平面上的投影面平行线：平面上的投影面平行线：正平线AE，水平线CD。4、平面的平面的倾角倾角 P56图图2-38 平面上和某平面上和某投影面倾角最大投影面倾角最大的直线，称为该的直线，称为该平面对某投影面平面对某投影面的的最大斜度线。最大斜度线。在在ABC平面上，过平面上，过A点所作的直线中，以垂直点所作的直线中，以垂直于水平线的直线于水平线的直线AK对对H面的倾角最大。面的倾角最大。直线直线AK就是就是ABC平面对平面对H 面的面的最大斜度线最大斜度线，而角而角是是ABC平面和平面和H面构成的面构成的二面角的平面角二面角的平面角，也就是也就是ABC平面对平面对H面的面的倾角倾角。例试求例试求ABC对对H面和面和V面的倾角面的倾角和和。求求角角的的作图步骤：作图步骤：1 1）求）求ABC ABC 对对H H 面面的的最大斜度线最大斜度线；2）用直角三角形）用直角三角形法，法，求求出出最大斜度最大斜度对对H面的面的倾角倾角，则，则角就是角就是ABC对对H面的面的倾角。倾角。用类似的作图用类似的作图方法，可方法，可求求出出ABC对对V 面面的的最大斜度线最大斜度线（垂直于垂直于ABC上的上的正平线正平线)，并，并求求出最出最大斜度线对大斜度线对V 面的面的倾倾角角，则，则角就是角就是ABC对对V面的倾角面的倾角。下次课：下次课：1、P6162：线面平行、面面平行：线面平行、面面平行 P25282、P6367：线面相交、面面相交：线面相交、面面相交 P29313、P6769：线面垂直、面面垂直：线面垂直、面面垂直 P324、P7179：变换投影面法：变换投影面法 P3337本次课：本次课：1、P48：直角投影定律：直角投影定律；2、P52表表2-8：投影面平行面的投影特性，：投影面平行面的投影特性，P51表表2-7：投影面垂直面的投影特性；：投影面垂直面的投影特性；3、平面上的点和线、平面上的点和线；4、P56：平面上的最大斜度线、平面的倾角：平面上的最大斜度线、平面的倾角（图（图2-38）。）。作业：作业：P2537作业：作业：P1824