激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵.pptx

ii.闭腔闭腔：如某些固体激光器，具有侧面反射边界（图a）半导体激光器iii.气体波导激光谐振腔气体波导激光谐振腔：（图c）由两个以上反射镜构成的腔：折叠腔折叠腔，环形腔环形腔n2 n1，n2 n3开腔内插入透镜一类光学元件复合腔复合腔分布反馈式谐振腔分布反馈式谐振腔：(Distributed Feedback,DFB)二、腔的模式腔的模式腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态谐振腔所约束约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一系列分立分立的本征态腔内电磁场的本征态 因此：腔的具体结构 腔内可能存在的模式（电磁场本征态）麦克斯韦方程组腔的边界条件模的基本特征模的基本特征主要包括：1、每一个模的电磁场分布 E(x,y,z)，腔的横截面内的场分布（横模）和纵向场分布（纵模）；2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗；3、每一个模的激光束发散角。腔的参数 唯一确定 模的基本特征。开腔 傍轴傍轴 传播模式的纵模特征傍轴光线傍轴光线 (paraxial ray)：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时可认为sin tan E0-E0E1E2E3开腔 傍轴傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波):光波在腔内往返一次的相位滞后:光波在腔内往返一次的电场变化率（=12）E0E1=E0e-jE2=E1e-jE4E3=E2e-jET=E0+E1+E2+E3+E4+ET当|1的情况下（往返传播次数无限多），只有当=q2时，ET幅度可以达到腔内纵模需要满足的谐振条件相长干涉条件相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。0真空中的波长；L腔的光学长度为腔内介质折射率纵模间隔 多纵模情况下，不同的纵模对应腔内不同的驻波场分布 纵模序数q 对应驻波场波节个数 在F-P腔中均匀平面波 纵模纵模 场分布的特点场沿腔的轴线方向形成驻波，驻波的波节数为q，波长为q。纵模间隔与序数q无关，在频率尺度上等距排列；纵模间隔大小与腔长成反比。a.几何偏折损耗；b.衍射损耗；c.腔镜反射不完全引入损耗；d.材料吸收、散射，腔内插入物所引起的损耗等。选择损耗选择损耗 （有选模作用）（有选模作用）非选择损耗 （无选模作用）腔内损耗的描述 平均单程损耗因子 定义无源腔内，初始光强I0往返一次后光腔衰减为I1，则三、光腔的损耗三、光腔的损耗1、损耗的种类及举例、损耗的种类及举例损耗因子也可以用 来定义当损耗很小时，两种定义方式是一致的对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损耗因子相加得到损耗举例反射镜反射不完全损耗：I0r1r2I1衍射损耗（均匀平面波夫琅和费（Fraunhofer）衍射）：孔阑传输线第一衍射极小值：2aLFP腔N 腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数，也是衍射光在腔内的最大往返次数数，也是衍射光在腔内的最大往返次数2、光子在腔内的平均寿命设，初始光强I0，在腔内往返m次后，光强为Im，则则在 t 时刻时，往返次数则 t 时刻光强物理意义为腔内光子平均寿命3、光子寿命与无源谐振腔的Q值的联系储存在腔内的总能量（E）单位时间内损耗的能量（P）谐振腔的损耗越小，Q值越高定义：谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长不确定关系Q的普遍定义第二节第二节 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件一、一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）1.表示光线的参数 r 光线离光轴的距离 光线与光轴的夹角傍轴光线 dr/dz=tan sin正,负号规定:0 0 0，相当于凸薄透镜 f0；凸面向着腔内时，R0，相当于凹薄透镜 f0。2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0）无关；3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其焦距对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线（弧矢光线），其焦距二、二、共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件几何偏折损耗1、稳定腔傍轴光线在腔内任意多次往返不会横向逸出腔外2、非稳腔傍轴光线在腔内有限次往返必然从侧面溢出腔外对简单共轴球面腔和复杂腔对简单共轴球面腔和复杂腔可选择不同适用公式可选择不同适用公式3、临界腔（2）、平行平面腔(R1=R2=,g1=g2=1)不稳定稳定类似于平行平面腔，通过公共中心的光线稳定不通过公共中心的光线不稳定 适用任何形式的腔适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性只需列出往返矩阵就能判断其稳定性（3）、共心腔(R1+R2=L)临界腔 其实是稳定的 （1）、对称共焦腔：满足R1=R2=L，此时g1=g2=0；第三节第三节 开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法一、理想开腔模型，孔阑传输线一、理想开腔模型，孔阑传输线理想开腔模型：两块反射镜片（平面或曲面）沉浸在均匀、无限、各向同性的介质中。不考虑几何偏折损耗情况下（稳定），由于反射镜的有限大小导致的衍射损耗将决定开腔中激光震荡能量的空间分布。在反射镜边缘处由于衍射发生损耗，进而改变us+1的分布当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布，渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。开腔的自再现模 或 横模横模孔阑传输线孔阑传输线幅度、相位空间相干性的衍化1、初始入射波的形状不影响自再现模的形成；2、不同初始入射波可能导致不同自再现模-横模的形成。二、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分S曲面上光场分布函数各子波源发出的球面波倾斜因子 u(x,y)可以看作S曲面上各子波源发出的非均匀球面波的叠加右图左图三、自再现模所应满足的积分方程考虑对称开腔的情况：为与坐标无关的复常数，表示自再现模在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。（6）为自再现模场V(x,y)应满足的积分方程式，K(x,y,x,y)称为积分方程的核。则|V(x,y)|描述镜面上场振幅的分布，其辐角argV(x,y)描述镜面上的相位分布。简化得到注意：指数上的(x,y,x,y)不能做这样的简化？其中 适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）本征函数本征函数本征值本征值1.本征函数形式镜面上振幅分布镜面上场的相位分布镜面上场分布函数 (本征函数 横模)四、自再现模积分方程的解的物理意义四、自再现模积分方程的解的物理意义 对应于本征值mn2.本征值 gmn 复常数 单程模振幅的衰减单程模振幅的衰减相移相移设g量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的g和d，g 模的单程损耗d光场在腔中渡越一次的相对功率损耗单程损耗3.单程相移单程相移 mn 自再现模在腔内渡越一次的总相移自再现模在腔内渡越一次的总相移开腔自再现模的谐振条件几何相移附加相移，与模式有关当gmn得知,可求得模的谐振频率 五、分离变量法？如果：则：1、矩形平面镜腔、矩形平面镜腔设：则：Y Y方向和方向和X X方向无限长的窄带镜的自洽积分方程方向无限长的窄带镜的自洽积分方程菲涅耳数N以以Vm和和Vn表示第表示第m个和第个和第n个解，个解，m和和 n表示相应的复常数：表示相应的复常数：积分本征值问题，积分本征值问题，m、n为一系列不连续的特定值，分别对为一系列不连续的特定值，分别对应相应的本征函数应相应的本征函数Vm(x)和和Vn(y)。P2(x,y)P1(x,y)P1P2212、方形球面腔、方形球面腔对称共焦腔方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程：第四节第四节 自再现模积分方程的解法1.解析解：精确解精确解 近似近似方形镜方形镜共焦腔共焦腔 长椭球函数长椭球函数 厄米高斯函数厄米高斯函数圆形镜圆形镜共焦腔共焦腔 超椭球函数超椭球函数 拉盖尔高斯函数拉盖尔高斯函数第五节 方形镜对称共焦腔的自再现模2.数值解(数值迭代法).振幅相位300次迭代结果详见详见6363页图页图2.202.20方形共焦腔分离变量分离变量V mn=Fm(X)Gn(Y)Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程 精确解：长椭球函数系 采用类比法径向长椭球函数径向长椭球函数角向长椭球函数角向长椭球函数 (m=0,1,2.)某确定值某确定值通过对比，找到了m,Fm(X)和n,Gn(Y)的表达式！对于一定的c值，可查长椭球函数表确定 本征函数角向长椭球函数 镜面上场的振幅、相位分布 本征值径向长椭球函数 决定模的相移和损耗均为实函数对给定对给定c值，当值，当m、n取一系列不连续的整数时，即得到一系列本征函数取一系列不连续的整数时，即得到一系列本征函数镜面上为等相位面，渡越时，附加相位由镜面上为等相位面，渡越时，附加相位由m,n决定决定二、厄米高斯函数二、厄米高斯函数 近似解近似解当当x a，y1时,厄米-高斯函数能近似满足积分方程(2.5.6)，即使不能满足c=2N1，厄米-高斯函数仍然能描述 镜面中心附近 的共焦腔模的振幅和相位分布。至此，我们得到了厄米-高斯近似下 共焦镜面上的场分布特性。Cmn 常系数常系数厄米-高斯近似下 共焦镜面上的场分布特性：1、基模:TEM00 m=0,n=0光斑尺寸定义(1)w0s：y1/eEx基模在镜面上分布为高斯型定义：定义：光斑尺寸定义(2)光强降到中心光强的一半处的半径 w0s：厄米多项式的零点决定场的节线厄米多项式的零点决定场的节线2、高阶横模的场振幅分布 （m,n 不同时为 0）3、高阶横模的光斑尺寸定义：定义：光场分布坐标均方差值的四倍 为 光斑半径的平方TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31TEM0nTEM1nTEM2nTEM3n厄米多项式的零点决定场振幅的节线5、单程损耗(mn)本征值 决定模的相移和损耗径向长椭球函数径向长椭球函数 m、n与腔的菲涅尔数(N)腔的单程损耗4、镜面上光场的相位分布 的辐角决定镜面上场的相位分布长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等 等相位面与共焦腔镜面重合 同种腔 N D m,n D 选横模的物理基础 不同腔 共焦腔衍射损耗 0时：比较近轴球面波近轴高斯光波比较 高斯光波在腔轴附近可近似为球面波，球面半径抛物面方程近轴处近似为球面当z1时,共焦腔的自再现模可以由厄米高斯或拉盖尔高斯函数近似描述 共焦腔基模高斯光束的基本特征唯一地由焦距 f 或w0决定,与反射镜尺寸无关。参数 f 或 w0 是表征共焦腔高斯光束的特征参数。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。共焦腔的特点：衍射损耗低；模式高度简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化;等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。自再现模所应满足的积分方程分离变量法方形镜对称共焦腔镜面场分布（长椭球函数）厄米-高斯函数圆形镜对称共焦腔镜面场分布（超椭球函数）对称共焦腔拉盖尔-高斯函数N近似镜面场分布镜面场分布空间行波场分布空间行波场分布本征值本征值 D，n nmnq腔内、外行波场腔内、外行波场基模高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、本征函数本征函数镜镜面上光斑，模体积面上光斑，模体积空间场分布空间场分布光斑、相位光斑、相位衍射损耗1、证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价：可以证明R1,R2,L满足 共焦腔与稳定球面腔的等价性（具有相同的行波场）任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价，而任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔是稳定球面腔第八节 一般稳定球面镜腔的模式特征2、证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔：关键问题：已知 R1,R2,L 如何求出等价共焦腔位置及 f 值当可得联立解出：联立解出：一、镜面上的光斑尺寸一、镜面上的光斑尺寸（基模）（基模）一般稳定球面镜腔的模式特征将前面将前面 的表达式带入，得到的表达式带入，得到稳定腔二、模体积（基模）二、模体积（基模）模体积（高阶模）对方形镜稳定腔：三、等相位面分布：等相位面（2.8.4）四、基模远场发散角：五、谐振频率：方形镜圆形镜表达式代入将方形镜稳定球面腔：圆形镜稳定球面腔：六、衍射损耗：稳定球面镜腔的有效菲涅尔数共焦腔菲涅耳数共焦腔菲涅耳数 稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律时，两个腔的单程损耗应该相等。带入（2.8.6）和（2.8.7）可以按共焦腔的Nmn关系，将有效菲涅耳数代入，分别求出对应的mn1和mn2共焦腔 TEM00 近似公式 00=10.9104.94N 行波场相同共焦腔各模式的损耗单值的由N决定第九节 高斯光束的基本性质及特征参数一、基模高斯光束沿z轴方向传播的基模高斯光束，不管它是由何种结构的稳定腔所产生的，均可表示为：瑞利长度瑞利长度 共焦参数共焦参数腰斑半径等相位面曲率半径光斑半径 f 或w0为高斯光束的典型参数发散(+)会聚(-)Basic parameters describing a Gaussian beam二、基模高斯光束的特征参数1.用w0(或f)及位置表征；已知 w0(或 f)w(z),R(z),等参数2.用w(z)及R(z)表征;已知 w(z),R(z)w0 ,z1、曲率不断变化的非均匀球面波；2、横截面内振幅/强度分布为高斯分布；3、等相位面始终保持为球面。发散(+)会聚(-)基模高斯光束特点3.高斯光束的q参数(2-9-1)改写为1/q(z)q 参数(高斯光束的复曲率半径)q 参数物理意义：同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随z的变化 若已知高斯光束某一位置的q参数w(z),R(z)w0,z 若已知高斯光束某一位置的q参数 w(z),R(z)q 参数表征高斯光束的优点:将描述高斯光束的两个参数w(z)和R(z)统一在一个参数中,便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律 高斯光束三种描述方法的比较光腰处（z0）0整理可得：三、高阶高斯光束1、厄米-高斯光束横向场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积决定光腰尺寸：z 处光斑尺寸：远场发散角：2、拉盖尔-高斯光束横向场分布z 处光斑尺寸：光腰尺寸：远场发散角：二、高斯光束通过光学元件的变换ABCD公式1.自由空间2.薄透镜(透镜焦距为F）球面波球面波发散(+)会聚(-)l1l2R1R2S1S2物距 像距 焦距近轴情况R1R2（薄透镜）高斯光束高斯光束q1q2两式相减高斯光束高斯光束球面波球面波3.光学系统传输矩阵为 的光学系统球面波高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同ABCD公式R1R212近轴光,自由空间透镜球面波 高斯光束0时，q(z)R(z)，波动光学几何光学三、ABCD矩阵应用（1）高斯光束通过透镜的变换已知：w0,l,F求：通过透镜后lc处，高斯光束 参数wc,Rc方法:由ABCD公式 qBz=0 q0=if f=w02/A处 qA=q0+lB处 1/qB=1/qA-1/F C处 qc=qB+lcqA qB关键先求w0 qc wcqA qB=-l或者讨论:高斯光束成象与几何光学成象规律的比较1.l F 即有(l-F)2f 2 和几何光学成象规律相同腰斑放大率2.l=F 时和几何光学成象规律不同几何光学:l=F l=(平行光)无实象qA qB3.l F l=0仍有实象 几何光学:l F 虚像四、ABCD矩阵的应用（2）高斯光束的自再现变换1、利用透镜实现自再现变换2、球面反射镜实现自在现变换qA qB3、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔LLf1f2f1LLf1f2f1对于自再现模有即即球面腔稳定性条件五、高斯光束的聚焦:即1.F f 要使 要求（分母分子）(2.10.18)(2.10.17)(1)(2)(3)F F 一定一定(l F,l f)R(l)才有聚焦作用 F 0Fl 一定一定,关系关系 结论：要获得良好的聚焦效果：使用短焦距透镜使用短焦距透镜 光腰远离透镜光腰远离透镜 (lF,l f )取取 l=0时，令时，令 fF 自在现变换六、高斯光束的准直减小发散角高斯光波 平面光波 单透镜准直效果可见，高斯光束通过薄透镜 当l=F 时,w0=F/w0 最大 1、F ,长焦距透镜利于准直 2、w0 尽可能小 发散角 要使 尽量大有限，无论l，F取何值都不可能使 说明用单透镜不能实现完全准直F f由此时：短焦距透镜聚焦,lF1 使w0，长焦距透镜F2准直 利用倒装望远镜准直得到最小 及其位置当 位置在F2焦点上时，w0”=F/w0 最大准直倍率(发散角压缩比)光腰几乎落在焦平面上,组成一倒装望远镜望远镜放大倍率ML1L2