梁弯曲内力堂.pptx

教学要求与教学目标教学要求与教学目标v1.了解工程实例中的弯曲问题与简化方法，了解工程实例中的弯曲问题与简化方法，理解平面弯曲概念；理解平面弯曲概念；v掌握梁的内力计算方法，熟练绘制剪力图、掌握梁的内力计算方法，熟练绘制剪力图、弯矩图；弯矩图；v掌握载荷、剪力、弯矩的关系并用于绘制剪掌握载荷、剪力、弯矩的关系并用于绘制剪力弯矩图；力弯矩图；v了解叠加法做内力图。了解叠加法做内力图。v2教学重点和难点教学重点和难点：v剪力、弯矩的符号约定与简单计算方法；剪剪力、弯矩的符号约定与简单计算方法；剪力图、弯矩图的绘制；剪力、弯矩、荷载的力图、弯矩图的绘制；剪力、弯矩、荷载的关系与内力图简单作法应用。关系与内力图简单作法应用。v3习题课安排习题课安排：v剪力弯矩计算，剪力、弯矩图绘制及简单作剪力弯矩计算，剪力、弯矩图绘制及简单作法求解实例。法求解实例。1 弯曲的相关概念弯曲的相关概念外载荷矢量垂直于杆件轴线外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆件将产生弯曲变形时，杆件将产生弯曲变形以弯曲为主要变形的构以弯曲为主要变形的构件，称为件，称为梁梁垂直于梁轴线的外力，又均作用在梁的某垂直于梁轴线的外力，又均作用在梁的某个纵向对称面内，则梁的轴线将弯成位于个纵向对称面内，则梁的轴线将弯成位于此对称面内的一条平面曲线，此种弯曲称此对称面内的一条平面曲线，此种弯曲称为为平面弯曲。平面弯曲。纵向对称面对称轴轴线qpm梁的类型（简化为）：梁的类型（简化为）：qABAB外伸梁：外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁v梁的受力特点是在轴线平面内受到力偶矩或v垂直于轴线方向的外力的作用。悬臂梁悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁简支梁：简支梁：一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座 2.梁的内力计算梁的内力计算AAmq=20/mmBCB0.2m用截面法分析用截面法分析C处截面的内力处截面的内力:由整体的平衡方程易求由整体的平衡方程易求得：得：以一假想平面在以一假想平面在C处将梁截开，处将梁截开，选左段为研究对象选左段为研究对象 AQAqCM由平衡条件由平衡条件C截面上一定存在沿铅垂方向的内力，这种与截面上一定存在沿铅垂方向的内力，这种与截面平行的内力称为剪力，以截面平行的内力称为剪力，以Q表示表示 可知可知由平衡方程确定剪力的大小及实际方向由平衡方程确定剪力的大小及实际方向（C截面上剪力的实际方向向下）截面上剪力的实际方向向下）AQAqCM又由平衡条件又由平衡条件由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：C截面上一定存在另一个内力分量，截面上一定存在另一个内力分量，即力偶即力偶,称为弯矩，以称为弯矩，以M表示表示。可知可知(一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心)（C截面弯矩的实际方向为逆时针）截面弯矩的实际方向为逆时针）剪力与弯矩的符号规定：剪力与弯矩的符号规定：因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的。故对弯曲内力的符号做如下规定：故对弯曲内力的符号做如下规定：有使研究段产生有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负；，反之为负；使保留段产生使保留段产生下凸变形的弯矩为正下凸变形的弯矩为正，反之为负。，反之为负。3.内力的正负规定内力的正负规定:剪力剪力Q:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()AAaQ1M1例例71图示简支梁，在截面图示简支梁，在截面C处受集中力处受集中力P作用，作用，试求试求C+及及C-截面上内力。截面上内力。bAAlP PBCBa在在C-处，将梁截开，取左部分为研究对处，将梁截开，取左部分为研究对象象在截面上，按正向加上剪力与弯矩在截面上，按正向加上剪力与弯矩解：解：由整体的平衡方程可求得由整体的平衡方程可求得约束力为：约束力为：由平衡方程由平衡方程得得 11由由 得得 C1 11 1AAaQ2M2P在在C+处，将梁截开，取左部分为研究对象处，将梁截开，取左部分为研究对象在截面上，按正向加上剪力与弯矩在截面上，按正向加上剪力与弯矩由平衡方程由平衡方程2得得 2由由 C2 2得得 2 23.剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图沿梁轴方向选取坐标沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、弯矩与建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系，即的函数关系，即。剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程若以若以x为横坐标，以为横坐标，以Q或或M为纵坐标，将剪力、弯矩为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图，这可使我们这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。例例72一悬臂梁一悬臂梁AB（图（图79a），右端固定，左端受集中力），右端固定，左端受集中力P作用。作用。作此梁的剪力图及弯矩图。作此梁的剪力图及弯矩图。（1 1）列剪力方程与弯矩方程列剪力方程与弯矩方程以以A A为坐标原点，在距原点为坐标原点，在距原点x x处将梁截开，处将梁截开，取左段梁为研究对象，取左段梁为研究对象，由平衡方程求由平衡方程求x x截面的剪力与弯矩截面的剪力与弯矩，以上两式即为以上两式即为ABAB梁的剪力方程与弯矩梁的剪力方程与弯矩方程。方程。(b)xAQPOM（x）PQx(c)MxPL(d)ABPxL(a)解解：依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图与弯矩图与弯矩图作梁的内力图的作梁的内力图的 一般步骤一般步骤求约求约求约求约束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究对象对象对象对象受受受受力力力力图图图图列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程求解求解求解求解内力内力内力内力画内画内画内画内力图力图力图力图静力静力静力静力平衡平衡平衡平衡方程方程方程方程载荷载荷载荷载荷突变突变突变突变处分处分处分处分段。段。段。段。内力内力内力内力按正按正按正按正向假向假向假向假设。设。设。设。矩心矩心矩心矩心取截取截取截取截面形面形面形面形心。心。心。心。内内内内力力力力方方方方程程程程图形图形图形图形应封应封应封应封闭。闭。闭。闭。aaaA B 3F 45 yx0F F FA Ay y F FA Ax x F FB B xF0MMQFN例例73图示简支梁，在截面图示简支梁，在截面C处受集中力处受集中力P作用，试作梁的作用，试作梁的剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。bAAlP PBCBx1x2aAAx1Q1M1由平衡方程求支反力：由平衡方程求支反力：解：解：建立剪力方程与弯矩方程：建立剪力方程与弯矩方程：AC段：段：A为原点，在距为原点，在距A点点X1处截取左段梁作为研究对象处截取左段梁作为研究对象 ap/lbp/l例例73图示简支梁，在截面图示简支梁，在截面C处受集中力处受集中力P作用，作用，试作梁的剪力图与弯矩图。试作梁的剪力图与弯矩图。BBx2Q2M2bAAlP PBCBx1x2aPab/lBC段：段：B为原点，在距为原点，在距B点点X2处截取处截取左段梁作为研究对象左段梁作为研究对象 根据平衡条件分别得：根据平衡条件分别得：根据根据AC、BC两段各自的剪力方程与弯矩方程，两段各自的剪力方程与弯矩方程，分别画出分别画出AC、BC两段梁的剪力图与弯矩图。两段梁的剪力图与弯矩图。从剪力图与弯矩图可以看出，从剪力图与弯矩图可以看出，在在集中力集中力作用处，作用处，其左、右两侧横截面上的其左、右两侧横截面上的弯矩相同弯矩相同，而而剪力剪力则发生则发生突变突变，突变量等于该集中力之值。突变量等于该集中力之值。有什么一般规律？有什么一般规律？AAl lqBBxAAQqoMxql2/8ql/2ql/2例例7 74 4一简支梁一简支梁ABAB受集度为受集度为q q的均布载荷作用（图的均布载荷作用（图7 710a10a）。）。作此梁的剪力图与弯矩。作此梁的剪力图与弯矩。解：求支座反力解：求支座反力列剪力方程与弯矩方程列剪力方程与弯矩方程在距在距A A点点x x处截取左段梁为研究对象，处截取左段梁为研究对象，由平衡方程由平衡方程得得 得得 由由由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图 例例75图示简支梁，在截面图示简支梁，在截面C处受到矩为处受到矩为m的集中力偶作用，的集中力偶作用，试作梁的剪力图与弯矩图。试作梁的剪力图与弯矩图。bAAlmBCBx1x2ama/lmb/lm/l解：解：1 1）计算支反力，由平衡方程求得：）计算支反力，由平衡方程求得：，2）建立剪力方程与弯矩方程）建立剪力方程与弯矩方程 ，分别于分别于C与与C+处将梁截开，处将梁截开，分别取左段与右段为研究对象，分别取左段与右段为研究对象，并分别以并分别以Q1、M1和和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：代表它们各自的内力，可求得：AAx1Q1M1BBx2Q2M2m据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图。据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图。由内力图可以看出，在集中力偶作用处，由内力图可以看出，在集中力偶作用处，其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩。矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩。有什么一般规律？有什么一般规律？4.载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系q（x）mAx+dxxBmnnxcQ+dQQqdxMM+dM用相距用相距dx的两个横截面的两个横截面m-m、n-n从梁中切取一微段进行分析从梁中切取一微段进行分析 由平衡方程由平衡方程 得：得：由平衡方程由平衡方程 （略去其中的高阶微量）略去其中的高阶微量）得：得：由（由（1 1）、（）、2 2）两式又可得）两式又可得：以上三式即为剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系式。以上三式即为剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系式。（1）（2）（3）使用关系式画FQ、M图(简易作图法）q(x)=0q(x)=0的区间的区间q(x)=Cq(x)=C的区间的区间集中力集中力F F作作用处用处力偶力偶M M作用处作用处Q Q图图水平线水平线q(x)0,q(x)0,斜直线，斜直线，斜率斜率00q(x)0,q(x)0,斜直线，斜直线，斜率斜率00,Q 0,斜直线，斜直线，斜率斜率00Q0,Q0,斜直线，斜斜直线，斜率率00,q(x)0,抛物线，抛物线，上凹上凹q(x)0,q(x)0,M图向上倾斜图向上倾斜 Q(x)0,Q图向上倾斜图向上倾斜 M为抛物线为抛物线,q0,M图上凹图上凹q0 M图图下下凹凹q0,Q图向下倾斜图向下倾斜3.当有集中力时，当有集中力时，4.当有集中力偶当有集中力偶时时，Q：有突变：有突变突变量突变量=FM：斜率由突变：斜率由突变图形成折线图形成折线Q：无：无影响影响有突变有突变突变量突变量=M小结小结:q=0,Q=q=0,Q=常数常数,M,M一次函数一次函数 q=q=常数常数,Q,Q一次函数一次函数,M,M二次函数二次函数 q q一次函数一次函数,Q,Q二次函数二次函数,M,M三次函数三次函数注：在注：在Q(x)=0Q(x)=0的截面上的截面上,M图有极值。图有极值Mmax可能发生截面可能发生截面 Q(x)=0处处 集中力作用处集中力作用处 集中力偶作用处集中力偶作用处以上关系可用于验证所画以上关系可用于验证所画Q、M图的正确性图的正确性xQxM例例 利用外力和内力间的关系（简易作图法）画下列各图示梁的内利用外力和内力间的关系（简易作图法）画下列各图示梁的内力图。力图。解解:qa AB段：段：Q Q图水平线图水平线图水平线图水平线控制值：控制值：一个一个求法：、求法：、直接求直接求取取左左段段：向向上上的的力力减减去去向向下的力下的力 QB=-qaBCqa2MM图斜直线图斜直线图斜直线图斜直线因为因为Q 0Q图斜直线图斜直线控制值：两个控制值：两个A处无集中力，故处无集中力，故 QA左左=QA右右xQxMqa2qaBCQC的求法：的求法：QC=qa-qa=0qa2取截面取截面C左侧部分梁上左侧部分梁上的荷载为研究对象：的荷载为研究对象：QC=左侧垂直向上作用荷载左侧垂直向上作用荷载 之和之和 左侧垂直向下作用荷载左侧垂直向下作用荷载之和之和 即有即有：xQxMqa2qaBCMM图二次曲线图二次曲线图二次曲线图二次曲线控控制制值值：三三个个，两两个个端端点点值值加加一一个个极极值值或或驻驻点点值值A处处集集中中力力偶偶，故故MC的求法：的求法：Q=0点对应点对应MC，即即C点即为极值点。点即为极值点。qa2 MA右右=MA左左-qa2=-2qa22qa2例例 用简易作图法画下列图示梁的内力图。用简易作图法画下列图示梁的内力图。解：求支反力解：求支反力左端点左端点A：B点左：点左：B点右：点右：C点左：点左：M 的驻点：的驻点：C点右：点右：右端点右端点D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2+ABCDqa2/2Mqa2/23qa2/8xqa2/2+v3、画剪力图和弯矩图，并求出、画剪力图和弯矩图，并求出FS，max和和Mmax。设。设l，Me均为已知。均为已知。vv