化学有心力.pptx

1.9 1.9 有心力有心力21.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质有心力的概念有心力的概念如果力的作用线始终通过空间某定点，则这样的力叫做有心力有心力，该定点叫做力心力心。OPFOPF引力：F(r)0，只讨论如下形式的有心力3有心力的概念有心力的概念1.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质常见的有心力常见的有心力(1)太阳对行星的引力(2)原子核对其周围电荷的作用力(3)一端固定的弹簧振子所受的弹力万有引力库仑力弹簧弹力，只讨论如下形式的有心力4基本性质基本性质1.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质(1)质点对力心的动量矩守恒质点对力心的动量矩守恒若M=0,则J=C(常矢量)回顾：动量矩守恒定律OPF有心力对力心O的力矩：质点对力心的动量矩守恒5基本性质基本性质1.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质(2)质点做平面运动质点做平面运动rerekeJOJ=C(常矢量)J=rFrJr必通过力心O质点在过力心O且垂直于J 的平面内运动=Jkek6基本性质基本性质1.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质(3)有心力是保守力有心力是保守力以力心O为极点、任意方向为极轴建立平面极坐标系即旋度为零F=F(r)er 是保守力7势能势能1.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质回顾：保守力 ，即势能对于F=F(r)er,其势能只依赖于距离r若 V 还依赖于的话，F 将多出横向(e)分量。，V(r)即势能有心力8势能势能1.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质势能的计算势能的计算回顾：保守力相应势能的基本计算式对于有心力场F=F(r)er,一般取无穷远处(r=)为势能零点,于是相应势能可如下计算:91.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质机械能守恒机械能守恒采用平面极坐标描述.动能：机械能守恒：即：101.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质动量矩守恒表达式动量矩守恒表达式rerekeJO=Jkek其中111.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质运动微分方程运动微分方程极坐标系下，质点加速度的分量表示为运动微分方程121.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质初积分的概念初积分的概念初积分初积分将二阶运动微分方程积分一次将二阶运动微分方程积分一次所得到的一阶表达式叫做初积分，也叫第一积分或守恒量积分。积分常数代表某守恒量。131.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质初积分初积分(1)动量矩积分动量矩积分(2)能量积分能量积分即动量矩守恒积分一次积分一次即机械能守恒141.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质初积分初积分积分证明证明：已知(1)(2)其中利用 可得(3)由(1)(2)(3)可得151.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质初积分初积分取无穷远处为势能零点，对上式积分：根据势能的计算式，可得已经得到动能定理的形式(4)其中Tr是质点在 r 处的动能，即(5)证明证明161.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质将(5)代入(4)式可得(5)即因为无穷远处为势能零点，故T等于总的机械能E.T=E于是导出机械能守恒表达式：得证。初积分初积分证明证明171.9.1 有心力的基本性质有心力的基本性质初积分初积分一次求导一次积分动量矩守恒式机械能守恒式一阶的运动微分方程二阶的故，求解动力学问题时，首先考虑系统有无某种守恒量，建立守恒量表达式，可以带来方便。181.9.2 轨道微分方程轨道微分方程比耐公式比耐公式运动微分方程：消去dt质点在有心力F=F(r)er作用下的轨道微分方程比耐公式：已知轨道可以求力Fr),已知F(r)可以求轨道191.9.3 平方反比引力平方反比引力行星的运动行星的运动太阳对行星的引力行星的轨道方程行星的轨道方程OPFO:太阳中心G:万有引力常数其中ms:太阳质量m:行星质量r:太阳中心到行星的距离k2=Gms:太阳的高斯常数201.9.3 平方反比引力平方反比引力行星的轨道方程行星的轨道方程将 代入比耐公式：解得行星的轨道方程其中A和0 是两个积分常数。此轨道方程与圆锥曲线方程 在形式上一致211.9.3 平方反比引力平方反比引力(1)椭圆椭圆C:中心:焦点B:近日点a:长轴半长b:短轴半长c:焦距半长p:正焦弦半长圆锥曲线圆锥曲线极点建立如图平面极坐标系，则椭圆方程为e:偏心率行星的轨道方程行星的轨道方程BabcpFC极轴221.9.3 平方反比引力平方反比引力圆锥曲线圆锥曲线(2)抛物线抛物线q:近日距p=2q偏心率e=1行星的轨道方程行星的轨道方程231.9.3 平方反比引力平方反比引力圆锥曲线圆锥曲线(3)双曲线双曲线C取为极点偏心率 e=c/a 1只取左边一支行星的轨道方程行星的轨道方程241.9.3 平方反比引力平方反比引力行星的轨道方程行星的轨道方程将原极轴逆时针转重新选择极轴太阳中心abcpFCB极轴极轴FCB251.9.3 平方反比引力平方反比引力行星的轨道方程行星的轨道方程重新选择极轴261.9.3 平方反比引力平方反比引力行星的轨道方程行星的轨道方程重新选择极轴271.9.3 平方反比引力平方反比引力行星的轨道方程行星的轨道方程综上所述，行星的轨道是圆锥曲线(椭圆，抛物线，或双曲线)。在以太阳中心 F 为极点、以 F 到近日点B 连线方向为极轴的极坐标系下，轨道方程为其中椭圆，e 1281.9.3 平方反比引力平方反比引力消去dt解出 并分离变量FCBrA上半支下半支两支关于极轴对称,只需要研究一支即可。以下只考虑正号情况根据能量判断轨道形状根据能量判断轨道形状291.9.3 平方反比引力平方反比引力积分令反解出r根据能量判断轨道形状根据能量判断轨道形状301.9.3 平方反比引力平方反比引力根据能量判断轨道形状根据能量判断轨道形状以上利用初积分(机械能守恒式和动量矩守恒式)建立轨道微分方程，并求解得到了行星的轨道方程：与前述由比耐公式解得的轨道方程对比可得：偏心率：根据能量判断轨道形状311.9.4 开普勒定律开普勒定律开普勒在大量的观测资料的基础上总结出行星运动三定律第一定律：行星绕太阳做椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。(1609年)第二定律：行星和太阳之间的连线(矢径)，在相等的时间内所扫过的面积相等。(1609年)第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比(比值与行星本身无关)。(1619年)321.9.4 开普勒定律开普勒定律从开普勒定律导出万有引力从开普勒定律导出万有引力(1)由第二定律推出行星受到来自太阳的力是有心力在很小的时间段t内矢径扫过的面积：单位时间内扫过的面积：常数第二定律已知 代表动量矩守恒故力矩为零，必是指向太阳的有心力。F331.9.4 开普勒定律开普勒定律从开普勒定律导出万有引力从开普勒定律导出万有引力(2)由第一定律导出力的初步形式已知行星轨道是椭圆令代入比耐公式:可得即：34从开普勒定律导出万有引力从开普勒定律导出万有引力(3)由第三定律确定力的最终形式1.9.4 开普勒定律开普勒定律第二定律给出对上式积分一周可得椭圆面积A=ab是行星公转周期周期:根据第三定律令已经得出力的初步形式与行星无关351.9.4 开普勒定律开普勒定律开普勒定律并不是严格的开普勒定律并不是严格的开普勒定律所根据的观测资料都是凭肉眼进行的。随着望远镜等精密仪器的出现，发现行星实际运动的情况与开普勒定律有少许的偏离(1)水星近日点有进动，其轨道不是严格的椭圆那么由开普勒定律导出的万有引力的形式是绝对严格的吗？(2)周期的平方与半长轴立方的比值 依赖于行星本身，即对不同的行星，这个比值也是不同的。36(2)考虑到太阳也是运动的，太阳与行星构造两体系统。(3)万有引力形式的相对论修正：1.9.4 开普勒定律开普勒定律理论方法和模型的修正理论方法和模型的修正(1)考虑到行星不但受到太阳的引力，还受到其它行星的引力 效果不明显可以解释 依赖于行星本身可以解释近日点的进动371.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行行星的机械能行星的机械能势能(无穷远处为势能零点)：机械能守恒：(常数)(1)动量矩守恒(2)(2)代入(1)消去 可得(3)381.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行当行星位于近日点处有FCBrA(4)代入(3)式可得r=r0(近日距)(4)(5)利用 消去(5)中的h2 可得行星的机械能行星的机械能391.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行行星的机械能行星的机械能以上得出行星的机械能：abcpFCB(1)椭圆椭圆401.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行行星的机械能行星的机械能以上得出行星的机械能：(2)抛物线抛物线411.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行行星的机械能行星的机械能以上得出行星的机械能：(2)双曲线双曲线C421.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行第一宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度环绕速度)这是从地面发射人造地球卫星人造地球卫星 所需的最低速度。卫星在地球的引力作用下，绕地球做椭圆运动，地心是椭圆的一个焦点。设卫星的速率为v1,则卫星的机械能守恒式可写为其中k2=GmE，mE是地球质量，m是卫星质量。431.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行第一宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度环绕速度)(1)卫星刚离开地面时，有(受地球引力近似等于重力)(2)(1)(2)联立，解出对第一宇宙速度的估算值：441.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行这是在地面发射人造行星人造行星 所需的最低速度。人造行星做抛物线运动，地心为抛物线的焦点。设人造行星的速率为v2,则其机械能守恒式可写为第二宇宙速度第二宇宙速度(逃逸速度逃逸速度)在刚发射时，有(2)(1)(1)(2)联立估算出451.9.5 宇宙速度与宇宙航行宇宙速度与宇宙航行第三宇宙速度第三宇宙速度从地面发射能逃离太阳系的宇宙飞船宇宙飞船 的最低速度46(4)第三宇宙速度p从地面发射能逃离太阳系的宇宙飞船的最低速度。n飞船的轨道是以太中心为焦点的抛物线地球公转速度30km/s47p飞船对地球的机械能守恒：n远离地球后，对地球的势能为零.p远离地球后，相对于太阳的机械能为零：p其中48p 是飞船到太阳中心的距离，可用地球公转半径的平均值近似代替.491.9.6 圆形轨道的稳定性p(1)圆形轨道的形成条件n若已知质点在有心力作用下做给定半径的圆周运动，则将 代入比耐公式：可得力与半径、速度矩之间的数值关系式：p等价于向心力公式p因为半径和速度矩都是常数，可推断必是匀速圆周运动。n初速度方向与位矢垂直且大小满足 则必形成圆轨道50（2）圆轨道的稳定性条件p原则上质点在任何形式的有心引力作用下，都能形成圆轨道（只要初速度使得向心力公式得以满足）。p但是只有满足一定形式要求的有心引力，才能得到稳定的圆轨道。n所谓稳定是指：微小扰动不会导致大的形变，应该一段时间后，又会回到原来形状。51微扰方法处理p设质点原来做圆轨道运动：p受到微扰后，代入比耐公式可得p利用二项式展开：当 时，有p可得52p只有当 时，即 的运动微分方程式属于简谐振动方程，它将不会变得很大。p对于任意的圆轨道运动，要保持稳定必须p设 ，则531.9.7 平方反比斥力 粒子的散射p（1）粒子的受力p（2）能量与轨道形状 轨道是双曲线54（3）轨道方程与散射图像p对于平方反比引力，已经解出轨道方程：p做代换p得到平方反比斥力的轨道方程：55瞄准距离：偏转角：56(4)瞄准距离与偏转角之间的关系当 时，有 ，于是可得 无穷远处只有动能：动量矩守恒：57(5)微分散射截面与卢瑟福公式通过环形截面的 粒子，散射后的偏转角在 之间。环形截面积：58微分散射截面的定义p令 为单位时间内通过单位横截面积的粒子数目，则单位时间内偏转角在 之间的粒子数目为p定义微分散射截面：p可见，微分散射截面具有面积的量纲，正比于被散射到 之间的粒子数目。59卢瑟福公式p将微分散射截面改写：p利用瞄准距离与偏转角的关系式，可得卢瑟福公式n反映了观测到的粒子数目与观测方位之间的关系