同济大学高等数学本科少学时.pptx

第一节 映射与函数一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数三、函数四、小结四、小结一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数三、函数一、集合1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.集合的运算集合的运算（1）集合的并）集合的并（2）集合的交）集合的交（3）集合的差）集合的差（4）集合的补）集合的补集合的运算律集合的运算律（1）交换律：）交换律：（2）结合律：）结合律：（3）分配律：）分配律：（4）摩根律：）摩根律：2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域:4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:二、映射1 1 映射概念映射概念 设设 是两个非空集合，如果存在一个法则是两个非空集合，如果存在一个法则 ,使得对于使得对于 中每个元素中每个元素 ，按法则，按法则 在在 中有唯中有唯一确定的元素一确定的元素 与之对应，则与之对应，则 称为从称为从 到到 的映射，的映射，记作记作 其中其中 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的像，并记作下）的像，并记作 ，即即 而元素而元素 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的一个原像；集下）的一个原像；集合合 称为映射称为映射 的定义域，记作的定义域，记作 ，即，即 ；中所有元素的像所组成的集合称为映射中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，的值域，记作记作 或或 ，即，即从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是：（1 1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合合 ，即定义域，即定义域 ；集合；集合 ，即值域的范围：，即值域的范围：；对应法则；对应法则 ，使对每个，使对每个 ，有唯一确定的，有唯一确定的 与之对应与之对应.（2 2）对每个）对每个 ，元素，元素 的像的像 是唯一的；而对是唯一的；而对于每个于每个 ，元素，元素 的原像不一定是唯一的；映射的原像不一定是唯一的；映射 的值域的值域 是是 的一个子集，即的一个子集，即 ，不一定，不一定 .满射、单射与双射满射、单射与双射 设设 是从集合是从集合 到集合到集合 的映射，若的映射，若 ，即，即 中中任一元素任一元素 都是都是 中某元素的像，则称中某元素的像，则称 为为 到到 上的上的映射或满射；若对映射或满射；若对 中任意两个不同元素中任意两个不同元素 ，它们的像它们的像 ，则称，则称 为为 到到 的单射；若的单射；若映射映射 既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称 为一一映射（或双射）为一一映射（或双射）2.2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射 设设 是从集合是从集合 到集合到集合 的映射，则由定义，对每个的映射，则由定义，对每个 有唯一的有唯一的 ，适合，适合 .于是，可以定于是，可以定义一个从义一个从 到到 的新映射的新映射 ，即，即 对每个对每个 ，规定，规定 ，这，这 满足满足 .这个这个映射映射 称为称为 的逆映射，记作的逆映射，记作 ，其定义域，其定义域 ，值域，值域 注意：注意：只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射.复合映射：复合映射：设有两个映射设有两个映射 其中其中 .则有映射则有映射 可以定义一个从可以定义一个从 的对应法则，它将每个的对应法则，它将每个 映成映成 .显然，显然，这个对应法则确定了一个从这个对应法则确定了一个从 的映射，这个映射的映射，这个映射称为映射称为映射 构成的复合映射，记作构成的复合映射，记作 ，即，即 注意：注意：的值域的值域 必须包含在必须包含在 的定义域内，即的定义域内，即 因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域三、函数三、函数自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数(4)取最值函数取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例1 1解解故故M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX（1）函数的有界性）函数的有界性:2 2、函数的特性、函数的特性（2）函数的单调性）函数的单调性:oxyxyo（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数xyxo-x奇函数奇函数yxox-x（4）函数的周期性）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.例例2 2解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,DWDW3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数(1)反函数反函数设函数设函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.（2）、复合函数）、复合函数定义定义:注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.(1)幂函数幂函数4.4.初等函数初等函数(2)、指数函数、指数函数(3)、对数函数、对数函数(4)、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数(5)、反三角函数、反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例3 3解解综上所述综上所述奇函数奇函数.偶函数偶函数.双曲函数双曲函数奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,奇函数奇函数,四、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数、复合函数、初等函数反函数、复合函数、初等函数思考题思考题思考题解答思考题解答设设则则故故练练 习习 题题练习题答案练习题答案