1、信号与系统 *2.2 2.2 微分方程的式的建立与求解微分方程的式的建立与求解 主讲人主讲人:忻州师院物电系忻州师院物电系 李彤明李彤明 主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述来描述。二微分方程的列写根据实际系统
2、的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。元件特性约束元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。例2-2-1电
3、感电感电阻电阻电容电容根据根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。()tisRRiLLiCciab+-()tv这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微
4、分方程表示。例2-2-2msF机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧牵牵引引，弹弹簧簧的的另另一一端端固固定定在在壁壁上上。刚刚体体与与地地面面间间的的摩摩擦擦力力为为，外外加加牵牵引引力力为为 ，其其外外加加牵牵引引力力 与与刚刚体体运运动速度动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为三n 阶线性时不变系统的描述 一一个个线线性性系系统统，其其激激励励信信号号 与与响响应应信信号号 之之间间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为
5、常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解。特解。X第第第第 9 9 页页页页 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件齐次解齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法
6、。特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。初始条件的确定初始条件的确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。经典法全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解特解，由初始条件定出齐次解 。X第第第第 1 10 0 页页页页例2-2-3 系统的特征方程为系统的特征方程为 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为X第第第第 1 11 1 页页页页例2-2-4 如如果果已已知知：分分别别求求两两种种情情况况下下此方程的特解。此方程的特解
7、。给定微分方程式给定微分方程式为使等式两端为使等式两端平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到将此式代入方程得到 X第第第第 1 12 2 页页页页等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到联解得到所以，特解为所以，特解为X第第第第 1 13 3 页页页页 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。代入方程后有：代入方程后有：(2)X第第第第 1 14 4 页页页页例2-2-5 X第第第第 1 15 5 页页页页根据电路形式，列回路方程根据电路形式，列回路方程列结点电压方程列结点电压方程(1)（1）列写电路的微分方程X第第第第 1 16 6 页页页页(2)求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程特征根特征根齐次解齐次解方程右端自由项为方程右端自由项为代入式代入式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为特解特解X第第第第 1 17 7 页页页页(3)换路前换路前X第第第第 1 18 8 页页页页因而有因而有由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,X第第第第 1 19 9 页页页页(4)求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为X第第第第 2 20 0 页页页页几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解
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