教堂顶部曲面面积的计算.pptx

教堂顶部曲面面积的计算 某阿拉伯国家有一座伊斯兰教堂，它的大厅拱形圆顶部需重新贴金箔装饰.据档案，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m.考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量会比教堂顶部面积多1.5，据此财政部门拨出了可制造5750m2有规定厚度金箔的黄金.建筑商哈桑计算了一下，觉得黄金会有盈余，于是他以较低的承包价得到了这项工程.但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上是半椭球面，其半立轴恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m.这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至是否可能短缺？最后的结果究竟如何？应用背景 计算曲面面积是常见的重积分在几何中应用，其近似方法有广泛的实际用途。相关知识点 1.用参数方程表示的曲面面积的计算 2.二元函数泰勒公式 3.定积分的近似计算（矩形法）解题方法 问题归结为一个二重积分的计算，但无法求出初等函数形式的原函数；通过引进小参数后将被积函数Taylor展开取得近似解析解再进行积分；另一种方法是将积分离散化作数值积分来求结果。解题过程第一步：建立模型 取椭球面中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭球面的方程可写为 ，其中 ，而其表面积为这里积分区域为:解题过程第二步：化为极坐标 通过简单的计算易得引进变量代换得到 （*）解题过程第三步：求积分 若记 ，那么上面累次积分中关于的积分可以求出为（这里 的情况要对表达式求极限）.注意若将的表达式代入以上结果得到的是一个极为复杂的积分式.事实上,这是一个无法最终以初等函数形式来表达的积分，因此我们必须使用近似方法来处理它.考虑到这一积分形式相当复杂，我们宁可直接对原来的积分式（*）来进行处理.解题过程第四步：近似方法 由于 十分接近 ，可以引进小参数，那么面积表达式(*)成为解题过程对被积函数中关于 和 展开（可用二元函数的Taylor公式展开或者将函数中的 看作一个整体来借助一元函数的Taylor公式进行展开），从而可得解题过程第五步：计算结果 注意由于都是很小的数.可以用上述展开式的前三项近似 代入原积分式，从而就能够逐项积分，求得：解题过程这样求得教堂顶部表面积为（m）.加上耗损等因素，使用金箔 .故哈桑在金箔上将得不敷出，从而招受损失.以上将 关于小参数展开取得近似解析式的方法称为摄动法.解题过程第六步：数值积分法 对于二重积分，可如同定积分那样，将区域划分为小块，然后在每个小区域上对被积函数作近似求积，再把所得的值求和.考虑矩形区域 上的积分将 划分作 个相等的小矩形 ,其中 分别是 和 方向的分点:，而 ,那么小矩形上的积分可写为解题过程记 ，则 若对这两个单积分都用梯形法，就有以及这样便可求得在D上的积分I的近似值数学实验使用Mathematica实现上述数值积分计算：将区域分成m2个小矩形 键入 Clearm,n,k,h,a,b,sR;a=30.6;b=29.6;R=30.;M=4,8,16,32,64;fx_,t_:=a*b*Sqrtt2+R2(1-t2)*(Cosx2/a2+Sinx2/b2);Yi_,j_:=k*h/4(fxi,tj+fxi-1,tj+fxi,tj-1+fxi-1,tj-1);Forn=1,n=LengthM,n+,m=Mn;k=2Pi/m;h=1./m;x0=0;t0=0;数学实验 Fori=1,i=m,i+,xi=i*k;Forj=1,j=m,j+,tj=j*h;s=SumYi,j,i,1,m,j,1,m;Printm,s输出结果（s表示面积）m=4,s5679.78;m=8,s5679.86;m=16,s5679.82;m=32,s5679.82;m=64,s5679.81;进一步的问题 试在数值积分方法中在区域的两个方向都采用Simpsom法进行近似计算，看一看要得到相应的精确程度的近似解，需要m=?