1、特殊情形特殊情形1).当不是特征根时，则特解具有形式2.当是特征根时，则特解具有形式9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程基本思想：对应齐次方程的通解例 求 的通解；解方程若已知齐次方程的一个不恒为零的解hw：p301 5,8.9 欧拉方程 Euler Equation 欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程常系数线性微分方程欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则计算繁计算繁!则由上述计算可知则由上述计算可知:用归纳法可证用归纳法可证 于是欧拉方程于是欧拉方程 转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:例例1.1.解解:则原方程化为则原方程化为亦即亦即其根其根则则对应的齐次方程的通解为对应的齐次
2、方程的通解为特征方程特征方程 的通解为的通解为换回原变量换回原变量,得原方程通解得原方程通解为为设特解设特解:代入代入确定系数确定系数,得得例例2.2.解解:将方程化为将方程化为(欧拉方程欧拉方程)则方程化为则方程化为即即特征根特征根:设特解设特解:代入代入 解得解得 A=1,所求通解为所求通解为 例例3.3.解解:由题设得定解问题由题设得定解问题则则化为化为特征根特征根:设特解设特解:代入代入得得 A1 得通解为得通解为利用初始条件利用初始条件得得故所求特解为故所求特解为hwhw：p319 2,4.p319 2,4.Euler Equation：一类特殊变系数非齐次线性微分方程解法：解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同令将方程转化为常系数微分方程。将自变量换为将自变量换为例 hw：p319 2,4.欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式
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