逼近理论.pptx

函数逼近问题函数逼近问题n函数逼近是数值分析的基础，同时在求取微分方程数值解等方面有重要应用。n具体说来，函数逼近问题是指：在某一区在某一区间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。n通常这些简单函数包括：(1)多项式函数；(2)分段多项式函数；(3)有理分式函数。赋范线性空间上最优逼近的定义赋范线性空间上最优逼近的定义n设X是赋范线性空间，是其子空间；，如果 使得则称y0是对对x按按Y的最优逼近的最优逼近。逼近理论之定理逼近理论之定理1n定理定理8.2.1：设设Y是赋范线性空间是赋范线性空间X中的有限维子空间，中的有限维子空间，则对任意则对任意xX，存在对，存在对x按按Y的最优逼近。的最优逼近。n证明：设xX给定，定义B=yY:x-yx，则B是Y中的闭球，于是：当 时，即：说明若对x按Y的最优逼近存在，则必存在于B中。B是有限维子空间Y中的有界闭集，故B为紧集；根据范数的连续性，则x-y在B中有下确界，即对x按Y的最优逼近存在。逼近理论之定理逼近理论之定理2n定理定理8.2.2：设设Y是赋范线性空间是赋范线性空间X的子空间，的子空间，则对则对x按按Y的最优逼近构成凸集的最优逼近构成凸集M。n证明证明：设 ，若M是空集或单点集，则M是凸集。若M有不止一个点，任取y,zM，则有任取0,1，且令 。因为wY，则必有 ，又因为：故 ，可知wM，M为凸集。一致逼近问题及相关定义一致逼近问题及相关定义n一致逼近问题（切比雪夫逼近问题）一致逼近问题（切比雪夫逼近问题）：，采用一致（无穷）范数。n设 ，如果 ，则t0称为x的一个极值点极值点。nHaar条件条件：设Y是Ca,b的有限维子空间，对任意 ，它在a,b区间上至多有n-1个零点，其中n=dimY。逼近理论之定理逼近理论之定理3n定理定理8.2.3：设设Y是实是实Banach空间空间Ca,b的有限维子空间，的有限维子空间，且且y1,y2,yn是是Y的任意一组基，对于的任意一组基，对于a,b中任意不同的中任意不同的点点t1,t2,tn，定义矩阵，定义矩阵K=kij=yi(tj)i,j=1,2,n则，则Y满足满足Haar条件等价于条件等价于detK0。n证明：对于任意yY，则若Y满足Haar条件则Y在a,b至多有n-1个零点如t1,t2,tn-1 若方程有解，则y(tj)=0，当且仅当j=0，即上式只有零解。根据Gramer法则，detK0。逼近理论之定理逼近理论之定理4n引理：设设Y是实是实Banach空间空间Ca,b的的n维子空间，满足维子空间，满足Haar条件，对于任意给定的条件，对于任意给定的xCa,b，yY，如果如果函数函数x-y在在a,b区间的极值点少于区间的极值点少于n+1个，则个，则y不是对不是对x按按Y的最优逼近。的最优逼近。n定理定理8.2.4：设设Y是实是实Banach空间空间Ca,b的的n维子空间，维子空间，对于任意的对于任意的xCa,b，唯一存在唯一存在y0Y是对是对x按按Y的最的最优逼近的充要条件是：优逼近的充要条件是：Y满足满足Haar条件。条件。逼近理论之定理逼近理论之定理5n定理8.2.4指出了最优逼近唯一存在的条件，下面需要解决最优逼近函数如何确定的问题。n交错集定义：设Y是实Banach空间Ca,b的n维子空间，xCa,b，yY，称点集t0,t1,tka,b，且t0 t1 tk为函数x-y的交错集交错集，如果x(tj)-y(tj)在两相邻点交错地取值+x-y和-x-y。交错集中的点是极值点；n+1个点的交错集至少有n个零点。n定理定理8.2.5：设设Y是实是实Banach空间空间Ca,b的的n维子空间，维子空间，满足满足Haar条件，给定条件，给定xCa,b，设，设yY使得使得x-y在在a,b有有n+1个点的交错集，则个点的交错集，则y是对是对x按按Y的最优一致逼近。的最优一致逼近。定理定理8.2.5的证明的证明n证明：由定理8.2.4知对x按Y的最优一致逼近唯一存在。现设最优一致逼近是y0Y，y0y，则交错集中的n+1个点为极值点，即在这些点上：x-y=x-y在极值点上考察函数y0-y=(x-y)-(x-y0)，与x-y符号相同。表明y0-y也是有n+1个点的交错集，故其在a,b上至少 有n个零点。但因y0-yY，Y满足Haar条件，故y0-y在a,b至多有n-1个零点，矛盾。第一类切比雪夫多项式第一类切比雪夫多项式nX=C-1,1，x(t)=tn，nN固定。Y=spany0,y1,yn-1，yi(t)=ti，i=0,1,n-1；问题：选择 ，使得 是对x按Y的最优一致逼近。n令t=cos,0,，有下式成立，其中nj为常数：而cosn在0,有n+1个极值点，且交错地取值为1。定义称其为第一类第一类n阶阶切比雪夫切比雪夫()多项式多项式。x-y余项余项逼近理论之定理逼近理论之定理6n定理定理8.2.6：由下式定义的多项式：由下式定义的多项式：对固定的对固定的nN，是，是-1,1上所有上所有n次实系数且次实系数且tn系数为系数为1的多项式中，距的多项式中，距0最大偏差为最小的一个多项式。最大偏差为最小的一个多项式。n证明证明：由第一类切比雪夫多项式的定义可知，是tn系数为1的多项式。令 ，则显然有 ，其中令x(t)=tn，则有 ，在-1,1区间上有n+1个点的交错集，由定理8.2.5可知y是对x按Y的最优一致逼近。其中 任意，所以 是任意tn系数为1的多项式。谢谢！谢谢！