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第1章 数、式与方程1.1 1.1 数（式）运算数（式）运算1.2 1.2 解方程（组）解方程（组）1.3 1.3 指数与对数运算指数与对数运算第1页1.1 数（式）运算数（式）运算l 数基本知识l 整式运算l 分式运算l 数乘方和开方运算回顾第2页数基本知识数基本知识有理数有理数 整数和分数统称为有理数。无理数无理数 无限不循环小数叫做无理数。实数实数 有理数和无理数统称为实数。数轴数轴n 要求了原点、正方向和单位长度直线叫做数轴。倒数倒数n 乘积是1两个数叫做互为倒数。相反数相反数n 只有符号不一样两个数叫做互为相反数。绝对值绝对值n 几何定义：一个数a绝对值就是数轴上表示a点与原点距离，数a绝对值记作|a|。n 代数定义：第3页 例题解析例题解析 例例1 求以下数绝对值：（1）3.4 （2）解解单击鼠标继续单击鼠标继续（1）因为3.40，所以|3.4|3.4。（2）因为 b，则ab0，ba0。所以 c|ab|ba|(ab)(ab)0 若ab，则ab0。所以 c|ab|ba|(ba)(ba)0 若ab，则ab0，ba0。所以 c|ab|ba|0总而言之，c0。例例2 若a、b是两个已知数，且c=|ab|ba|，求c。解解单击鼠标继续单击鼠标继续第5页 1在2、这些数中，整数有_，分数有_，有理数有_，无理数有_。2 相反数为_，倒数为_；0相反数_，0有倒数吗？3求以下各式中x值：（1）x0，|x|0.1 （3）|x|4已知a0，求x。第6页整式运算整式运算幂运算法则幂运算法则（a、b0，m、n是整数）anamanm (am)namn(ab)nanbn 惯用乘法公式惯用乘法公式因式分解因式分解乘法乘法因式分解因式分解 多项式因式分解就是把一个多项式化为几个整式积，多项式因式分解和整式乘法是相反方向变换。第7页 例题解析例题解析 例例1 计算：（1）（2）解解（1）原式（2）原式单击鼠标继续单击鼠标继续第8页解解 例例2 把以下各式分解因式 （1）（2）（3）（1）原式（2）原式（3）原式单击鼠标继续单击鼠标继续第9页 1计算 2计算 3分解因式：（1）（2）（3）（4）第10页分式运算分式运算 分式分式 A、B表示两个整式，AB就能够表示成 形式，假如B中含有字母，式子 就叫做分式，其中A叫做分式分子，B叫做分式分母。分式基本性质分式基本性质 分式分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零整式，分式值不变，这个性质叫做分式基本性质，即 ，（M为不等于零整式）分式运算分式运算 分式加减运算是使用通分进行；分式乘除运算是使用约分进行。第11页 例题解析例题解析解解 例例 计算：（1）（2）（3）分析分析分式加、减法关键是求最小公分母，基本方法：先将各分母分解因式；将全部因式全部取出，公因式应取次数最高；将取出因式相乘，积为最小公分母。在分式乘除运算中，先要将各分式分子、分母都因式分解，相乘时约去分子分母公因式，再化简。（1）原式（2）原式（3）原式单击鼠标继续单击鼠标继续第12页 1当x_时，分式 没有意义。2当x_时，分式 值为0。3计算：（1）（2）第13页数乘方和开方运算数乘方和开方运算正整数指数幂正整数指数幂（n是正整数）零指数幂零指数幂（a0）负整数指数幂负整数指数幂（a0，n是正整数）平方根平方根若x2a(a0)，则称x为a平方根（二次方根）立方根立方根若x3a(a0)，则称x为a立方根（三次方根）第14页n次方根次方根 若xna（a是一个实数，n是大于1正整数），则称数x为a一个n次方根。当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，互为相反数，分别表示为 和 ；而对于每一个负数a，它n次方根没有意义。当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为 。当a0时，0；当a0时，0。n次方根是。第15页n次根式次根式 我们把形如 （有意义时）式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正n次方根 称为an次算术根，而且（n1，n是正整数）第16页 例题解析例题解析 例例1 计算：解解 例例2 求8立方根，16四次方根。解解 8立方根为16四次方根为单击鼠标继续单击鼠标继续第17页 例题解析例题解析 例例 计算（用计算器运算）：（1）2215（用科学计数法表示，保留4位有效数字）（2）(1.052)10（保留4位有效数字）（3）10(1.052)10（保留4位有效数字）（4）（保留4位有效数字）（5）（保留4位有效数字）（6）（准确到0.001）解解 分析分析 在计算器上用一个 yx 键来进行数乘方运算，按键次序为：底数 yx 指数 在计算器上用yx第二功效键进行数开方运算，按键次序为：被开方数 2ndF yx 开方次数 =（1）22151.3691020（2）(1.052)101.660（3）10(1.052)1016.60（4）1.196（5）19.62（6）1.035单击打开单击打开计算器计算器单击鼠标继续单击鼠标继续第18页 1计算以下各式值：40、0.12。2 平方根为_；0平方根为_；27立方根为_；立方根为_；四次方根为_。3用计算器运算：（1）3212、(2.05)10（用科学计数法表示，保留4位有效数字）（2）、（准确到0.001）第19页1.2 解方程（组）解方程（组）l 解一元二次方程l 解简单二元二次方程组回顾第20页解一元二次方程解一元二次方程一元二次方程一元二次方程求根公式求根公式判别式判别式当0时，方程有两个不相等实数根；当0时，方程有两个相等实数根；当0时，方程没有实数根。一元二次方程解法一元二次方程解法（1）直接开平方法。（2）配方法。（3）公式法。（4）因式分解法。根和系数关系根和系数关系 假如ax2bxc0（a0）两根是x1、x2，那么，x1x2 ，x1x2 。第21页 例题解析例题解析 例例 解方程 解法一（配方法）解法一（配方法）原方程配方，得 整理得所以解得解法二（因式分解法）解法二（因式分解法）原方程可化为所以 解法三（公式法）解法三（公式法）解得单击鼠标继续单击鼠标继续第22页 1解方程：（1）x25x60 （2）x21690 2若方程9x22mx160有两个相等实数根，那么m_。3若方程8x2(k1)xk70一个根是0，则k=_，另一个根是_。第23页解简单二元二次方程组解简单二元二次方程组 二元一次方程组二元一次方程组 几个二元一次方程组成方程组，叫做二元一次方程组。二元二次方程二元二次方程 含有两个未知数，而且含有未知数项中，最高次数是2 整式方程，叫做二元二次方程，它普通形式为：Ax2+bxy+cy2+dx+ey+f0 二元二次方程组二元二次方程组 由两个二元方程组成而且其中最少有一个是二元二次方程方程组叫做二元二次方程组。二元二次方程组解法二元二次方程组解法 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成二元二次方程组，普通可用代入消元法来解。其目标是把二元方程化为一元方程。第24页 例题解析例题解析 例例 解方程组：解解 由（2）得 （3）把（3）代入（1），得 整理得 解得 或 将x1、x2分别代入（3），求得或 所以，原方程组解为 或 单击鼠标继续单击鼠标继续第25页 1解方程：（1）（2）2解方程组：（1）（2）3解方程组：（1）（2）第26页1.3 指数与对数运算指数与对数运算l 指数运算l 对数运算回顾第27页指数运算指数运算有理指数幂有理指数幂这么，我们把整数指数幂概念推广到了有理指数幂有理指数幂。法则法则1 apaqapq法则法则2 (aq)p=aqp 法则法则3 (ab)papbp 普通地，我们要求 （为既约分数，m、n都是正整数）其中，当n为偶数时，a0；当n为奇数时，a为任意实数。负分数指数幂意义：设a0，n、m都是正整数且n1，当 有意义时，我们要求 （为既约分数，m、n都是正整数）第28页 例题解析例题解析 例例1 求分数指数幂值：解解 例例2 求值：解解单击鼠标继续单击鼠标继续第29页 1计算以下有理指数幂值：2用计算器计算以下各式近似值：（准确到0.001）第30页对数运算对数运算 在代数式abN中有a、b、N三个量，若已知其中两个量，就能够求出第三个量。已知a、b求N是乘方运算；已知b、N，求a是开方运算；已知a、N，求是什么运算呢？比如：（1）已知2x，求x；（2）已知2x，求x。它们都是已知底数和幂值，求指数运算。因为23，所以（1）中x，但（2）中x是多少呢？要想顺利地处理这个问题，还需要学习新知识：对数对数。第31页对数定义对数定义 普通地，在式abN（a0，a1）中，称b为以以a为为底底N对数对数。而且把b记为logaN，即logaNb其中a称为对数底数对数底数（简称底），N称为真数真数。因为a0，所以ab总是正数，即零和负数没有对数零和负数没有对数。因为a01，所以loga10，即1对数等于对数等于0。因为a1a，所以logaa1，即底对数等于底对数等于1。对数恒等式对数恒等式N第32页 例例1 求以下各式值：（1）log31 （2）（3）例题解析例题解析解解（1）log310（2）（3）例例2 求以下对数值：（1）log28 （2）解解（1）因为238，所以log283。（2）因为22 ，所以log2 2。单击鼠标继续单击鼠标继续第33页对数运算法则对数运算法则设a0，a1，M、N都是正实数，则有：法则法则1法则法则2法则法则3第34页 例题解析例题解析 例例1 求log232和 值。解解 例例2 求 值。解解单击鼠标继续单击鼠标继续第35页惯用对数惯用对数 我们把以10为底对数称为惯用对数惯用对数。通常把log10N简记为lgN。自然对数自然对数 以无理数2.71828为底对数称为自然对数自然对数。把logeN简记为简记为lnN。换底公式换底公式 设a0，a1，N是正数，则第36页 例题解析例题解析 例例 用计算器计算以下对数值：（准确到0.01）（1）log1.152 （2）log1.0361.5解解（1）（2）单击鼠标继续单击鼠标继续第37页 1请写出以下指数式对应对数式，并指出底数和真数：224，3327，。2求以下对数值：log101、log216、。3用计算器计算以下对数值：（准确到0.01）、ln5、ln0.56、log50.752、。第38页第39页