数学建模第二次课程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模第二次课程目标：目标：介绍一些简单数学建模问题；介绍数学建模普通思想和思绪；介绍简单初等数学模型；增加大家对数学建模兴趣；为今后参加数学建模竞赛打下良好基础；第1页初等模型介绍初等模型介绍2.1 公平席位分配公平席位分配2.2 录像机计数器用途录像机计数器用途2.3 双层玻璃窗功效双层玻璃窗功效2.4 汽车刹车距离汽车刹车距离2.5 划艇比赛成绩划艇比赛成绩第2页2.1 公平席位分配公平席位分配系别系别 学生学生 百分比百分比 20席分配席分配 人数人数 （%）百分比百分比 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席分配席分配 百分比百分比 结结果果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按百分比分配，三个系分别为席，按百分比分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席怎样分配。席怎样分配。若增加为若增加为21席，又怎样分配。席，又怎样分配。百百分分比比加加通通例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 百分比百分比 20席分配席分配 人数人数 （%）百分比百分比 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 百分比百分比 20席分配席分配 人数人数 （%）百分比百分比 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席分配席分配 百分比百分比 结结果果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21第3页“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配数量指标衡量公平分配数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公时，分配公平平 p1/n1 p2/n2 对对A绝对不公平度绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A不公平程不公平程度已大大降低度已大大降低!虽二者虽二者绝对不绝对不公平度相同公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5第4页公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽可能尽可能小小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对即对A不公平不公平 对对A相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性席位分配转化为动态席位分配将一次性席位分配转化为动态席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义定义第5页1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B第6页当当 rB(n1+1,n2)车身平均长度车身平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不一样不一样刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机情况情况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数第23页假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能改变作功等于汽车动能改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间为反应时间且且F与车质量与车质量m成正比成正比第24页 反应时间反应时间 t1经验预计值为经验预计值为0.75秒秒参数预计参数预计 利用交通部门提供一组实际数据拟合利用交通部门提供一组实际数据拟合 k模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第25页“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒秒准则准则”模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）1234第26页2.5 划艇比赛成绩划艇比赛成绩赛艇赛艇 米成绩米成绩 t(分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b(米米)(米米)l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg)浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军成绩进行比较，发觉与浆手数有某种关系。试建立数军成绩进行比较，发觉与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇尺寸和重量调查赛艇尺寸和重量l/b,w0/n 基本不基本不变变第27页问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水摩擦力浸没部分与水摩擦力 前进动力前进动力 浆手划浆功率浆手划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间关系分析赛艇速度与浆手数量之间关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速关系等作出假定 利用适当物理定律建立模型利用适当物理定律建立模型第28页模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正成正比比2）阻力）阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重空艇重 w0,阻力阻力 f,浆手数浆手数 n,浆手功率浆手功率 p,浆手体重浆手体重 w,艇重艇重 W艇静态特征艇静态特征艇动态特征艇动态特征3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手特征浆手特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv第29页模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军平均成次国际大赛冠军平均成绩对模型绩对模型 t n 1/9 进行检验进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！第30页