高等数学上册全集导数及微分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第2章导数及微分第1页【学习目标】1.了解导数、微分概念及导数、微分几何意义，会求曲线切线和法线方程；2.熟练掌握基本初等函数求导公式及导数四则运算法则；掌握复合函数、隐函数求导方法；3.了解高阶导数定义，会求高阶导数；了解二元函数偏导数概念，会计算简单二元函数偏导数；4.掌握基本初等函数微分公式及微分四则运算法则，会用微分近似公式进行计算.第2页2.1导数概念1.问题提出引例引例1 1变速直线运动速度问题.设一质点从点出发作变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求质点在任一时刻t0瞬时速度，如图2-1所表示.第3页 我们知道，当质点作匀速直线运动时，其速度v等于经过旅程s与所用时间t之比，即 设变速直线运动质点在时刻t0 到 t0+t 内所经过旅程为s，即则在时间段t内平均速度第4页显然，时间段t越小，质点运动速度改变越小,可近似看做匀速直线运动,平均速度v就越靠近于质点在t0时刻瞬时速度v(t0)，即当t0，平均速度v极限，便是质点在t0时刻瞬时速度，即第5页2.导数定义定义定义设函数y=f(x)在点x0左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量x(x0)(也叫自变量增量)时，对应函数改变量(也叫函数增量)为y=f(x0+x)f(x0).当x0时，若比值yx 极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处导数值，记作f(x0)，即第6页也记作假如极限 不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.假如函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.第7页对每一个x(a,b)，都对应着函数y=f(x)一个导数值，于是得到一个新函数f(x)，这个新函数f(x)称为函数y=f(x)导函数导函数，简称为导数.记作f(x)，即显然，函数y=f(x)在点x0处导数值f(x0)，就是导函数f(x)在点x0函数值.第8页由定义知，引例1中，变速直线运动s=s(t)质点在t0时刻瞬时速度()()，引例2中曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处切线斜率k=f(x0).第9页3.导数几何意义由引例2知道，函数y=f(x)在点x=x0处导数f(x0)，表示曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)切线斜率，这就是导数几何意义.如图-3所表示，若切线倾斜角为，则假如f(x0)不存在，即斜率k=tan不存在.当曲线y=f(x)在点M0处连续时，曲线y=f(x)在点M0处有垂直于x轴切线.在工程技术上，经常要用到法线相关知识，把过切点且与切线垂直直线称为法线法线.第10页依据导数几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)切线方程为对应法线方程为当f(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.第11页.2初等函数求导法则1.导数基本公式前一节由导数定义，求出了几个简单函数导数，但对于较复杂函数，用定义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数基本公式、求导法则和求导方法，借助这些基本公式、法则和方法就能够方便地求出初等函数导数.全部基本初等函数导数基本公式以下：第12页2.和、差、积、商求导法则若函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导，那么函数u(x)v(x)，u(x)v(x)，(v(x)0)都在点x处可导，而且尤其地，当u(x)=C(为常数)时，有()().第13页3.复合函数导数假如函数u=(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u=(x)处也可导，则复合函数y=f(x)在点x处可导，且这个法则能够推广到两个以上中间变量情形，假如y=y(u)，u=u(v)，v=v(x)，且它们在各对应点处导数存在，则上述公式也叫复合函数求导链式法则链式法则.利用复合函数链式法则求导时，关键是将所给复合函数分解成若干个简单函数，而这些简单函数导数是可求.第14页4.高阶导数定义假如函数y=f(x)导数f(x)仍可导，那么f(x)叫做函数y=f(x)二阶导数，记作y，即也记作对应地，()为函数()一阶导数.普通地，函数y=f(x)n1阶导数导数称为()n阶导数，记作二阶及二阶以上导数称为高阶导数高阶导数.第15页2.3隐函数及偏导数1.隐函数导数假如对于x值，经过F(x,y)=0都有确定y值与之对应，那么由方程F(x,y)=0，也就确定y是x函数.这种函数关系，隐藏在方程F(x,y)=0之中，所以，把由方程F(x,y)=0所确定函数称为隐函数.假如y能从方程F(x,y)=0中解出，那么隐函数成为显函数y=f(x)，它导数可按前面方法求出.对于y不能从方程F(x,y)=0中解出隐函数.第16页2.偏导数函数y=f(x)只含一个自变量时，我们把它叫做一元函数.假如有三个变量x、y、z，对于变量x、y，在各自改变范围内每一组确定x、y值，按照某种对应关系，z都有唯一确定值与之相对应，那么称z为x、y二元函数二元函数，记作z=f(x,y).定义定义设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)附近有定义，当自变量y保持y0不变，而自变量x有改变量x时，函数对应地相关于x改变量(偏改变量或偏增量)假如极限第17页存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处，对x偏导数，记作类似地，能够定义函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y偏导数，记作第18页假如函数z=f(x,y)在某个平面区域D内每一点(x,y)处，对x偏导数都存在，那么，这个偏导数就是x,y函数，称它为z=f(x,y)对自变量x偏导函数，简称偏导数，记作类似地，能够定义(，)对自变量y偏导数，记作那么，(x0，)、(x0，)就是偏导数(，)、(，)在点(x0，)处函数值.第19页按照对自变量求导次序不一样，可得到以下四个二阶偏导数，分别记作其中 称为(，)二阶混合偏导数.以这类推，可得三阶、四阶、阶偏导数.二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.记号与二阶偏导数类似.第20页2.4函数微分1.函数微分概念在实际问题中，有时还需要研究函数改变量近似值.定义定义设函数()在点x0处可导，则称(x0)为函数()在点x0处微分，记作x0，即第21页可见，微分有以下特点：(1)微分是函数改变量主要部分，当很小时，可用它近似代替；(2)微分x0(x0)是线性函数，以导数(x0)为系数，较轻易计算.依据微分定义，得也就是说，自变量微分就是自变量改变量，即第22页通常，把函数()在处微分()写成从而就是说，函数导数等于函数微分与自变量微分之商.所以，导数也叫做微商微商，函数可导也叫做函数可微函数可微，反之亦然.第23页2.微分基本公式和运算法则因为函数微分等于函数导数与自变量微分之积，所以轻易得到以下微分公式和运算法则.由导数基本公式，可得微分基本公式以下：第24页第25页假如函数()，()在点处都可微，那么、/()在点处也可微，且第26页3.复合函数微分当()及()都可导时，由微分定义及复合函数求导法则，可得函数()微分为()()因为()所以这说明，不论是自变量还是中间变量，函数()微分形式都是第27页4.微分在近似计算中应用由前面讨论可知，假如函数()在x0处可微，当很小时，有近似公式或者令x0，则第28页