1、一、一个方程情形隐函数求导公式隐函数求导公式第1页解解令令则则第2页第3页解解令令则则第4页解解1：第5页于是，于是，第6页思绪思绪2：解解2：令令则则第7页整理得整理得整理得整理得整理得整理得第8页二、方程组情形第9页第10页第11页下面推导公式：下面推导公式：即，即，等式两边对等式两边对 x 求导，求导，现现第12页这是关于这是关于二元线性方程组。二元线性方程组。方程组有唯一解。方程组有唯一解。第13页类似，对类似，对等式两边对等式两边对 y 求导，求导，得关于得关于线性方程组。线性方程组。解方程组得解方程组得第14页尤其地，方程组尤其地，方程组第15页例例5 设设解解 1：令令则则第16
2、页第17页解解 2：方程两端对方程两端对 x 求导。求导。注意：注意：即即得得第18页即即第19页解解1 1直接代入公式；直接代入公式；解解2 2将所给方程两边对将所给方程两边对 x 求导并移项求导并移项:第20页将所给方程两边对将所给方程两边对 y 求导，用一样方法得求导，用一样方法得第21页隐函数求导法则隐函数求导法则三、小结（分以下几个情况）（分以下几个情况）惯用解法：惯用解法：公式法公式法方程两边求导法方程两边求导法第22页第六节第六节 微分法在几何上应用微分法在几何上应用第23页第六节第六节 微分法在几何上应用微分法在几何上应用一一 问题提出问题提出二二 空间曲线切线与法平面空间曲线
3、切线与法平面(Applications of differential calculus in geometry)第24页一一 问题提出问题提出 我们能够利用偏导数来确定空间曲线切向量和空间曲面法向量第25页推导过程推导过程二二 空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面1 空间曲线 切向量切向量：切线方程切线方程：法平面方程：法平面方程：(Tangent and normal plane of space curve)第26页解：解：在（在（1，1，1）点对应参数为）点对应参数为 t=1切线方程：切线方程：法平面方程：法平面方程：(x-1)+2(y-1)+(z-1)=0即：即：x+2 y+3
4、z=6例例1 求曲线求曲线 在点在点 处切处切线及法平面方程。线及法平面方程。第27页2 切线方程：切线方程：法平面方程法平面方程：第28页切线方程：切线方程：法平面方程法平面方程：第29页例例2、求曲线、求曲线 在点在点（1，-2，1）处切线及法平面方程。）处切线及法平面方程。法平面方程：法平面方程：x-z=0 切线方程：切线方程：第30页1 设曲面方程为曲线在M处切向量在曲面上任取一条经过点M曲线三三 曲面切平面与法线曲面切平面与法线(Tangent plane and normal line of surface)第31页令令则则切平面方程为第32页法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处法
5、向量即处法向量即垂直于曲面上切平面向量称为曲面法向量垂直于曲面上切平面向量称为曲面法向量.第33页2 空间曲面方程形为空间曲面方程形为曲面在曲面在M处切平面方程为处切平面方程为曲面在曲面在M处法线方程为处法线方程为令令第34页切平面上点竖坐标增量因为曲面在M处切平面方程为第35页其中第36页解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为第37页解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程第38页解解设设 为曲面上切点为曲面上切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得第39页因为因为 是曲面上切点，是曲面上切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程第40页1 空间曲线切线与法平面2 曲面切平面与法线四四 小结小结第41页五五 思索判断题思索判断题第42页
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