1、第一节第一节 定积分概念定积分概念一、引入定积分概念实例一、引入定积分概念实例二、定积分二、定积分概念概念三三、定积分、定积分存在定理存在定理四、定积分基本性质四、定积分基本性质第1页一、引入定积分概念实例引例1 曲边梯形面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成图形称为曲边梯形,其中曲线弧y=f(x)称为曲边,线段ab称为底边.第2页问题 求由x=a,x=b,y=0与y=f(x)所围成曲边梯形面积.第3页求曲边梯形面积A详细做法：(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴平行线，将曲边梯形
2、分割成n个小曲边梯形.记每一个小区间 长度为 把区间a,b分成n个小区间第4页(2)近似、求和.在每一个小区间xi-1,xi上任取一点i,以xi为底边,以f(i)为高作小矩形,其面积为f(i)xi.以此作对应小曲边梯形面积近似值,即n个小矩形面积和即为整个曲边梯形近似值第5页 我们一样能够用这种“分割，近似、求和，取极限”方法处理变力作功问题.(3)取极限记全部小区间长度最大值为当0时和式 (n个小矩形面积之和)极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即 第6页引例2 变力做功 设一物体作直线运动,受到与运动方向平行力作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做功就是w=Fs.但实际问题中,物体
3、在运动中受力经常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做功.假如已知F(s)是位移s连续函数,物体位移区间为a,b(即位移s从a变到b).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上函数F(s).假如把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.第7页计算步骤(1)分割第8页第9页 以上两问题即使不一样，但处理问题方法却相同，即归结为求同一结构总和极限.由此引入定积分概念.第10页在每个小区间 任取一点 作和式二、定积分概念定义5.1 设函数f(x)在区间a,b上有界,在(a,b)内插入n1个分点各小区间长度为把区间a,b分为n个小区间第11页定积分(简称积分)其中
4、f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表示式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.第12页 依据定积分定义，前面所讨论两个引例就可以用定积分概念来描述：曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上定积分，即 物体在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对物体所做之功等于函数F(s)在a,b上定积分，即第13页 假如函数f(x)在区间a,b上定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.第14页 关于定积分概念，还应注意两点:(1)定积分 是积分和式极限，是一个数值,定积分值只与被积函数f(x)及积
5、分区间a,b相关,而与积分变量记法无关.即有(2)在定积分 定义中,总假设 ,为了今后使用方便，对于 情况作以下要求：第15页定积分几何意义：假如在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成曲边梯形面积.第16页 假如在a,b上 ,此时由曲线y=f(x),直线x=a，x=b及x轴所围成曲边梯形位于x轴下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形面积A相反数.第17页 假如在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间各部分面积代数和.第18页三、定积分存在定理定理5.1定理5.2第19页例1 用定
6、义计算解 (1)分割.插入n1个分点把区间0,1分成n等分,各分点坐标依次是每个小区间长度均为(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为i,即作乘积第20页这里用了正整数平方和公式(3)取极限.当 ,时取极限,得所以所求定积分第21页性质1 函数和(或差)定积分等于它们定积分和(或差)证实设各性质中包括函数都是可积.四、定积分基本性质第22页推论 有限个函数代数和定积分等于各函数定积分代数和，即第23页性质 2 被积函数中常数因子能够提到积分号前面,即证实第24页性质 3 假如积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,则 性质6.3表明定积分对积分区间含有可加性，这个性质能够用于求分段函数定
7、积分.按定积分补充要求有:不论a,b,c相对位置怎样(如abc,cab等),总有等式第25页利用定积分几何意义，可分别求出例2 已知解第26页性质 4性质 5推论1第27页性质 6(估值定理)证实由性质6.2和性质6.4,可得第28页 曲边梯形面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成矩形面积.性质6几何意义：第29页例3解第30页性质 7(定积分中值定理)假如函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上最少存在一个点,使下式成立证实 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，依据闭区间上连续函数最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分性质 6，有 第31页即数值 介于f(x)在a,b上最大值M和最小值m之间.第32页性质 7几何意义：第33页 假如函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上平均值.第34页
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