1、一、复一、复习习要求要求（1）了解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理（2）熟练掌握不定积分基本公式（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单根式代换）（4）熟练掌握不定积分分部积分法（5）会求简单有理函数不定积分 第第5讲讲 不定积分不定积分第1页1原函数和不定积分概念原函数和不定积分概念二、内容提要二、内容提要假如存在一个函数对该区间上每一点都有或则称函数是函数在该区间上一个原函数（1）原函数定义：设是定义在某区间上已知函数，有原函数，则它必有没有穷多个原函数说明：a若全部原函数都表示为形式（C为任意常数）是一个原函数，则b若第2页（
2、2）不定积分定义：函数全部原函数，称为不定积分，记作若是一个原函数，则有注意：假如漏写这个任意常数C，那就只表示一个原函数可见，原函数和不定积分关系是个体与全体关系求已知函数不定积分实质是求出它一个原函数，再加上任意常数C其中C称为积分常数第3页（4）不定积分几何意义：普通地，函数图象是一条曲线，（3）原函数存在性：假如函数则在此区间必有原函数在某个区间连续，轴平移）曲线族，其中每一条曲线在同一个横坐标形状相同仅位置高低不一样（沿处有相同斜率图象是一个含有没有数条第4页（5）不定积分性质 它表明：若对一个函数求导或微分后再求不定积分，二者作用相互抵消不定积分导数等于，即a导数（或微分）不定积分
3、与相差一个常数，即b第5页c被积函数中不为零常数因子可提到积分号前面，即d两个函数和（差）不定积分，等于函数不定积分和（差），即第6页2基本积分公式基本积分公式第7页3直接积分法直接积分法（1）把只应用不定积分性质和基本积分公式求积分方法叫做直接积分法（2）在计算积分之前，往往需对被积函数进行简单恒等变换，常见恒等变换有：a代数式恒等变换（如加减某一项、把被积函数分成两部分、把根式部分写成份数指数形式等）；b三角函数恒等变换（3）直接积分法是最基本积分方法，是换元积分法和分部积分法基础，务必熟练掌握 第8页4第一换元积分法（凑微分法）第一换元积分法（凑微分法）实际应用形式是令 能够无须把写出来
4、，直接计算 可微，则有（1）法则：若已知第9页（2）说明：第一类换元积分法是用得最多一个主要积分法其基本思想是，为了计算积分这么与 复合函数即使这个积分不属于基本公式，但被积表示式能分解成两部分之积一部分能凑成一个可微函数微分某基本积分公式中函数 ，必要时再添加常数；另一部分是属于第10页（3）常见凑微分形式有：第11页5第二类换元积分法第二类换元积分法（2）作用：第二类换元积分法主要用来消去消去被积函数中根号根号，这类积分被积函数看来简单，但难于计算换元后被积函数有理化就便于计算了，则，若单调可微，且（1）法则：设其中是反函数第12页（3）惯用代换形式b被积函数含有根式，作三角代换c被积函数
5、含有根式，作三角代换d被积函数含有根式，作根式代换，作三角代换a被积函数含有根式，称为正弦代换，称为正切代换，称为正割代换第13页（4）注意变量还原用上述代换消去根号后，求得不定积分）注意变量还原用上述代换消去根号后，求得不定积分中常含有变量函数，这就需要设法把它们用变量函数代回来中常含有变量函数，这就需要设法把它们用变量函数代回来对于三角代换，这个回代过程可对于三角代换，这个回代过程可借用一个直角三角形借用一个直角三角形来完来完成成第14页6分部积分法分部积分法或简写为：都是可微函数，且及都有原函数，则有（1）法则：设第15页和（2）部分积分法关键在于选择其普通选择标准是：b原函数轻易求出导
6、数比a使本身简单轻易计算 c使积分第16页（3）适宜用部分积分法计算不定积分主要类型有：与指数函数乘积，简称指数幂积型，这时普通设a被积函数是幂函数乘积，简称三角幂积型，这时普通取或b被积函数是幂函数与三角函数（如正、余弦函数等）第17页c被积函数是幂函数与对数函数乘积，简称对数幂积型，这时普通设e被积函数是幂函数与反三角函数乘积，简称反 三角函数型，这时普通设或d被积函数是指数函数与三角函数乘积，简称三角指数型，这时可任意设第18页6简单有理函数不定积分简单有理函数不定积分，可用换元法计算（1）形如，可经过配方法或拆项法计算（2）形如第19页1基本概念基本概念是全体原函数，即不定积分是一族曲
7、线，它们共同点是曲线上点切线斜率都是三、例三、例题题及及说说明明，则一个原函数，是若第20页两种不一样积分方法普通会得到结果，这并不矛盾，可用导数来检验例例1 设，求（1）全体原函数；或经过恒等变形来检验（2）把代入不定积分，得则所求一个原函数是时一个原函数（2）满足条件：当，也能够用凑微分法解解（1）第21页2基本基本积积分公式和性分公式和性质质利用利用（2）（3）（4）（5）（6）例例1 求（1）第22页解解（1）原式（2）原式（3）原式第23页（4）原式（5）原式（6）原式第24页3第一第一换换元法（凑微分）元法（凑微分）（2）（3）（4）（5）（6）例例1 求（1）第25页解解（1）原式（2）原式（3）原式第26页（4）原式（5）原式（6）原式第27页4第二第二换换元法元法（2）（3）（4）例例1（1）第28页解解（1）设，则原式（2）设，则原式 第29页（3）设，则原式 （）第30页（4）设，则原式第31页5分部分部积积分法分法（2）（3）例例1 求积分（1）解解（1）设，则于是第32页（2）设，则于是（3）令，则于是第33页6.简单简单有理函数有理函数积积分分解解（1）（2）例例1 求积分（1）第34页（2）7三角函数三角函数积积分分（2）例例1 求积分（1）第35页解解（1）因为，于是（2）第36页
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